5.2.1 三角函数的概念（课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 高中数学/人教A版/必修一 古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量 三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说. 1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线. 随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ A B C α 1 复习回顾 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢? 1 复习回顾 前面我们已经将角的范围推广到实数集R上，自然我们就会考虑任意角的三角函数. 我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？ 2 任意角的三角函数 思考： x y O P(a，b) α r A B x y O P(a，b) α r A B 2 任意角的三角函数 思考：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终 边上的位置的改变而改变？为什么？ 由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在角α的终边上的位置的改变而改变. ∽ M O P 2 任意角的三角函数 思考：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位 置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？ x y o P(a，b) α 1 当OP=1时 2 任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆（以原点为圆心，以单位长为半径的圆）交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？ α的终边 P(x，y) O x y · 2 任意角的三角函数 　　 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数． 2 任意角的三角函数 α的终边 P(x，y) O x y · 思考：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的 sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否唯一？ 角α的终边在y轴上时, tanα的值无意义,除此之外,其他的角的三角函数值都是唯一确定的. α的终边 P(x，y) O x y · 2 任意角的三角函数 正弦、余弦、正切函数的定义域: 函 数 定 义 域 2 任意角的三角函数 若角600°的终边上有一点(-4, a),则a的值是( ) 答案： B 练一练 思考： 根据任意角三角函数的定义，sinα，cosα，tanα 的值的符号取决于什么？ 3 三角函数的正负 O - + + + + + - - - - - + y O x O x y O x y O 3 三角函数的正负 注意： 终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？ 1. 下列各式为正号的是（ ） A. cos2 B. cos2sin2 C. tan2cos2 D. sin2tan2 答案：C 练一练 练一练 答案：A 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 解： O x y A 4 典型例题(一) 例2.已知角α的终边经过点P0（－3，－4），求角α的正弦、 余弦和正切值. P0（-3，-4） P（x，y） O x y M0 M 解：由已知可得r=5. 4 典型例题(一) 例2.已知角α的终边经过点P0（－3，－4），求角α的正弦、 余弦和正切值. 4 典型例题(一) P0（-3，-4） P（x，y） O x y M0 M 　　若点P（x，y）为角α终边上任意一点，则 P(x，y) O x y 方法总结： 例3.已知θ的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求sin θ， co