(九上预习篇)第二章 2.4 解直角三角形-【假期好时光】2024年数学八升九暑假作业（青岛版）

５９　 ２．４　解直角三角形 １．了解直角三角形边角关系，理解解直角三角形的含义； ２．熟练掌握解直角三角形的类型与解法； ３．会根据解直角三角形解决非直角三角形的边角问题．  T ;)*4)*%*"/+*"/(+*& 知识点一　解直角三角形 １．由直角三角形中 求出 的过程，叫做解直角三角形． ２．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃，∠犅，∠犆的对边分别是犪，犫，犮． （１）角之间的关系：　　　　　　　　　　　　　　　　； （２）边之间的关系：　　　　　　　　　　　　　　　　； （３）角与边之间的关系：ｓｉｎ犃＝ ，ｃｏｓ犃＝ ，ｔａｎ犃＝ ． 【典型例题１】在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犅犆＝１２，犃犆 槡＝４ ３，解这个直角三角形． 思路点拨：根据勾股定理，可以求得犃犅的长，然后根据锐角三角函数可以得到∠犃的度数，然后即可得到 ∠犅的度数． 解：在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犅犆＝１２，犃犆 槡＝４ ３， ∴犃犅＝ １２２＋（槡４ ３）槡 ２ 槡＝８ ３． ∴ｓｉｎ犃＝ 犅犆 犃犅 ＝ １２ 槡８ ３ ＝ 槡３ ２ ． ∴∠犃＝６０°． ∴∠犅＝３０°，即犃犅 槡＝８ ３，∠犃＝６０°，∠犅＝３０°． 【跟踪练习１】 １．已知在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝５０°，犃犅＝１０，那么犅犆的长为 （　　） Ａ．１０ｃｏｓ５０° Ｂ．１０ｓｉｎ５０° Ｃ．１０ｔａｎ５０° Ｄ． １０ ｓｉｎ５０° ２．已知在Ｒｔ△犃犅犆中，斜边犃犅的长为犿，∠犅＝４０°，则直角边犃犆的长是 （　　） Ａ．犿ｓｉｎ４０° Ｂ．犿ｃｏｓ４０° Ｃ．犿ｔａｎ４０° Ｄ． 犿 ｔａｎ４０° ３．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犅犆＝４，ｔａｎ犅＝ ３ ４ ．求ｓｉｎ犃的值． 知识点二　解非直角三角形 　　在解非直角三角形时，通常作出非直角三角形 ，把非直角三角形转变成 来解决． 　　　　　　　　　　　　　 　　　第２章　解直角三角形 ６０　 【典型例题２】如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆于点犇，犃犅＝８，∠犃犅犇＝３０°，∠犆犃犇＝４５°，求犅犆的长． 思路点拨：首先解Ｒｔ△犃犅犇，求出犃犇，犅犇的长度，再解Ｒｔ△犃犇犆，求出犇犆的长度，然后由犅犆＝犅犇＋ 犇犆，即可求解． 解：∵犃犇⊥犅犆于点犇， ∴∠犃犇犅＝∠犃犇犆＝９０°． 在Ｒｔ△犃犅犇中，犃犅＝８，∠犃犅犇＝３０°， ∴犃犇＝ １ ２ 犃犅＝４，犅犇 槡＝ ３犃犇 槡＝４ ３． 在Ｒｔ△犃犇犆中，∠犆犃犇＝４５°，∠犃犇犆＝９０°， ∴犇犆＝犃犇＝４． ∴犅犆＝犅犇＋犇犆 槡＝４ ３＋４． 【跟踪练习２】 １．如图，点犃，犅，犆为正方形网格中的３个格点，则ｔａｎ∠犃犆犅＝　　　　． ２．如图，在△犃犅犆中，∠犃为钝角，犃犅＝２５，犃犆＝３９，ｓｉｎ犅＝ ３ ５ ，求犅犆的长和ｔａｎ犆的值． C A B ３．如图，在△犃犅犆中，ｓｉｎ犅＝ １ ３ ，ｔａｎ犆＝槡 ２ ２ ，犅犆 槡＝３ ２．求犃犆的长． １．（１）在遇到解直角三角形的问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些 元素是未知的，然后确定锐角及它的对边和邻边． ①若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角比． ②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角比． ③求某些未知元素的途径往往不唯一，选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的 ＱＤ·数学·九年级·上 ６１　 关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算． （２）对含有非基本元素的直角三角形，如已知两边之和，中线，高，角平分线的长，角之间的关系，锐角三角比 的值，周长，面积等条件，我们常用的解题方法是将非基本元素转化为基本元素，最终达到解直角三角形的 目的． （３）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构建直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角 的顶点作高，保留特殊角，可使计算方便、准确，对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出 直角三角形，利用解直角三角形的方法实现问题的转化． ２．在非直角三角形中，要通过添加适当的辅助线，把问题转化为解直角三角形的问题，作辅助线时，为了保留 特殊角（３０°或４５°或６０°），通常从非特殊角的顶点作高． ３．求非直角三角形面积的一般步骤：第一步：作高构造直角三角形；第二步：根据直角三角形中边角的关系进 行计算；第三步：利用三角形的面积公式求解． 一、选择题 １．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝３６°，若犅犆＝犿，则犃犅的长为 （　　） Ａ． 犿 ｃｏｓ３６° Ｂ．犿·ｃｏｓ３６° Ｃ．犿·ｓｉｎ３６° Ｄ．犿·ｔａｎ３６° ２．在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝３，犅犆＝２，则６ｃｏｓ犅等于 （