第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程（9类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程 课程标准 学习目标 ①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量. 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【详解】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段（不包含两端点）上，有； 若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点）， 则有. 故选：B 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 题型01 双曲线定义的理解 【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 题型02利用双曲线定义求方程 【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ． 【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ）