专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 点与椭圆的位置关系】 1 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 2 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 3 【题型4 椭圆的弦长问题】 4 【题型5 椭圆的“中点弦”问题】 5 【题型6 椭圆中的面积问题】 5 【题型7 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 7 【题型8 椭圆中的最值问题】 8 【知识点1 点与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 【题型1 点与椭圆的位置关系】 【例1】（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·高二课时练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 直线与椭圆的位置关系】 1．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 【题型2 直线与椭圆的位置关系的判定】 【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2-2】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 【题型3 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 【例3】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·高二单元测试）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）若方程有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识点3 弦长与“中点弦问题”】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【题型4 椭圆的弦长问题】 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（    ） A． B． C．