专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 椭圆的简单几何性质【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 1 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 2 【题型3 椭圆的对称性的应用】 3 【题型4 利用椭圆的几何性质求标准方程】 4 【题型5 椭圆的焦距与长轴、短轴】 4 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 5 【题型7 根据椭圆的离心率求参数】 6 【题型8 椭圆的实际应用问题】 6 【知识点1 椭圆的范围】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 【题型1 椭圆中x、y的取值范围】 【例1】（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 ． 【变式1-1】（2022·高二课时练习）设集合，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　） A．[－2，2] B．[0，2] C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）} 【变式1-2】（2023·上海·高二专题练习）下列关于曲线的结论正确的是（    ） A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是 C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6 【变式1-3】（2022·高二课时练习）讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形． (1) (2)． 【题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例2】（2023·高二课时练习）已知椭圆经过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围． 【知识点2 椭圆的对称性】 1．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 【题型3 椭圆的对称性的应用】 【例3】（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【变式3-1】（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式3-2】（2023·高二课时练习）若点在椭圆上，则有（    ）． A．点不在椭圆上 B．点在椭圆上 C．点不在椭圆上 D．点在椭圆上 【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（    ） A．20 B． C．36 D．30 【知识点3 椭圆的顶点、长短轴与离心率】 1．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 2．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【题型4 利用椭圆