(九上预习篇)第一章 3 正方形的性质与判定-【假期好时光】2024年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母留宠 BS·数学·九年级·上 3 正方形的性质与判定 ☒学习目标Q 1.理解正方形的概念，掌握正方形的性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算. 2.分请正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 石知识点讲解化gg· 知识点一正方形的定义 四条边都 ,四个角都是 的四边形叫做正方形.(1)既是矩形又是菱形的四边形是正方 形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更是特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个 角是直角的菱形.(2)正方形的定义也是正方形的判定 【典型例题1】如图所示，已知A',B,C,D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB=CC=DD. 求证：四边形A'B'CD'是正方形 B B 解析：欲证明四边形为正方形，只需先证明四条边相等，再证明一个内角为90即可. 证明：四边形ABCD为正方形， ∴.DA=AB=BC=CD,∠A=∠B=∠C=∠D=90 又AA'=BB=CC=DD,∴.DA=A'B=B'C=CD. ∴.△AA'D'≌△BBA'≌△CCB'≌△DDC'(SAS) ∴.DA'=A'B'=B'C'=CD',∠2=∠3. :∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.∴∠DA'B'=180°-（∠1+∠3）=90° 同理：∠A'B'C'=∠B'C'D'=∠CDA'=90°. ∴.四边形ABC'D'为正方形（四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形）. 【跟踪练习1】 L.如图，在四边形ABCD中，AC,BD交于点O,则根据下列条件能判定它是正方形的是 A.∠DAB=90且AD=BC B.AB=BC且AC=BD C.∠DAB=90°且AC⊥BD D.AC⊥BD且AO=BO=CO=DO D 第1题图 第2题图 2.如图是一张矩形纸片ABCD,若将纸片沿DE折叠，使AD落在DC上，点A的对应点是点F,则四边形 ADFE的形状是 ,依据是 知识点二正方形的性质 1.边一四条边相等、邻边垂直、对边平行 2.角一一四个角都是直角。 3.对角线一①相等：②互相垂直平分：③每条对角线平分一组对角. 34 第一章特殊的平行四边形 预习篇 【典型例题2】如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O,E是OB上的一点，DG⊥AE于点G,交OA于点 F,求证：OE=OF. 思路点拨：要证明OE=OF,只需证明△AEO2△DFO.由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到 ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,可以得到这两 个三角形全等，故结论得证 证明：，四边形ABCD是正方形， .∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等). 又，DG⊥AE, ∴.∠EAO+∠AEO=∠EIDG+∠GED=90. ,∠AEO=∠GED,∴.∠EAO=∠EDG=∠FDO. .△AEO2△DFOCASA)...OE=OF 【跟踪练习2】 1.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 () A.8 B.42 C.8② D.16 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,若AD=8cm,则OE的 长为 () A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm D 知识点三正方形的判定方法 正方形的判定方法除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相 等（即矩形）：或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【典型例题3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D,且DE⊥BC于点 E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗？说明理由. 解：四边形CEDF是正方形.理由如下： 如图，过点D作DG⊥AB于点G .AD平分∠BAC,DF⊥AC,.DF=DG. 同理可得DG=DE.∴.DF=DE .DF LAC,DEBC,∠C=90°， ,四边形CEDF是矩形 ,DF=DE,矩形CEDF是正方形. 【跟踪练习3】 1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①AB=BC:②∠ABC=90°：③AC BD:①AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错 误的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 35 假期母留宠 BS·数学·九年级·上 2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P作PM⊥AD, PN⊥CD,垂足分别为M,N (1)求证：∠ADB=∠CDB: (2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPVD是正方形. Xa学法指导职 L,正方形具有平行四边形，矩形，菱形的所有性质