1.3 探索三角形全等的条件（第8课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章 · 全等三角形 1.3 探索三角形全等的条件 第8课时　斜边、直角边(HL) 1 学习目标 1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL” ； 2. 会用“HL”判定两个直角三角形全等. 问题情景 上节课上，探讨角平分线作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下： A B O N M P ①利用三角板上的刻度，在射线OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON； ②分别过M、N作OM、ON的垂线交于点P； ③作射线OP. 则OP为∠AOB的平分线. 请你判断小明的作法正确吗？ 问题情景 A B O N M P ∟ ∟ ？ ？ 在△OMP和△ONP中 △OMP与△ONP全等吗？ 上节课上，探讨角平分线的作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理的. 作法： 1．作∠PCQ＝90° ． 2．在射线CP上截取CB=a． 3．以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A. 4．连接AB. Rt△ABC就是所求作的三角形． 操作：按下列作法，用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c． 操作思考 a c Q C P B a A c 操作思考 a Q C P B a A c 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？你有什么发现？ c 讨论交流 如图，在△ABC和△A′B′C′ 中，∠C ＝∠C′＝90°，AB＝A′B′， AC＝A′C′ ，你能证明△ABC和△A′B′C′ 全等吗？ A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ 解：如图拼在一起成为一个等腰三角形． ∵AB＝A′B′， ∴∠B=∠B′. 易证△ ABC ≌△A′B′C′ （AAS）． 新知归纳 于是，我们得到如下定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. (简写成“斜边、直角边”或“HL”) 符号语言： ∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). A B C A ′ B′ C ′ “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 前提 不要丢了 新知应用 如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC _______(填“全等”或“不全等”)，根据_____（用简写法）. 全等 HL A D C B 新知应用 A B O N M P ∟ ∟ ？ ？ 解：小聪的作法正确． 理由如下： ∵PM⊥OM , PN⊥ON(已知)， ∴∠OMP=∠ONP=90° (垂直定义). 在Rt△OMP和Rt△ONP中 ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP (全等三角形对应角相等) ， ∴OP平分∠AOB (角平分线的定义) . 注意“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 例题讲解 例 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°, 求证：①AC﹦BD. A D C B ①证明：在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∠C=∠D=90°, ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ AC﹦BD. 注意“HL”的前提条件是在直角三角形中. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. O 例题讲解 例 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°, 求证：②AO﹦BO，CO=DO. A D C B ②证明：在△AOC 和△BOD 中， O ∴△AOC≌△BOD(AAS) ∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等). 例题讲解 A D C B 变式1 已知：如图，AD、BC相交于点O，AC=BD，∠C=∠D=90°, 求证：AD﹦BC. O 证明：在△AOC 和△BOD 中， ∴△AOC≌△BOD(AAS) ∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等). ∴AO+DO﹦BO+CO (等式性质). 即AD=BC 也可以证Rt△ABD≌Rt△BAC(HL) 例题讲解 A D C B 变式2 如图，∠C=∠D=90°,要证明△ABC ≌△BAD，还需要什么条件？ 已知一组对应角和一组对应边相等 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4）