(七上预习篇)第三章1 探索勾股定理-【假期好时光】2024年数学六升七暑假作业（鲁教版五四学制）

６３　 第三章　勾股定理 新知识 ↓  → ↑ 勾股定理直角三角形  旧知识 探索勾股定理 勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方． 拼图证法｛ ． 一定是直角三角形吗 勾股数：如３，４，５；５，１２，１３等． 三边满足犪２＋犫２＝犮２ 的三角形是直角三角形｛ ．烅 烄 烆勾股定理的应用举例 １　探索勾股定理 !"#$ X X XUEXIMUBIAO １．掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． ２．会用勾股定理进行简单的计算． ３．会用勾股定理解决简单的实际问题． 知识点一　勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果用犪，犫和犮分别表示直角三角形的两 直角边和斜边，那么　　　　　　　． 【典型例题１】在△犃犅犆中，∠犆＝９０°， （１）若犪＝３，犫＝４，则犮＝ ； （２）若犪＝６，犮＝１０，则犫＝ ； （３）若犮＝３４，犪∶犫＝８∶１５，则犪＝ ，犫＝ ． 解析：（１）犮２＝犪２＋犫２＝２５，则犮＝５． （２）犫２＝犮２－犪２＝６４，则犫＝８． （３）因为犪∶犫＝８∶１５，所以设犪＝８狓，犫＝１５狓． 因为∠犆＝９０°，所以犮 ２＝犪２＋犫２． 所以犮＝１７狓．所以１７狓＝３４，狓＝２． 所以犪＝１６，犫＝３０． 答案：（１）５　（２）８　（３）１６　３０ 【跟踪练习１】 １．在Ｒｔ△犃犅犆中，两条直角边的长分别为５和１２，则斜边的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．１０ Ｄ．１３ ２．如图是边长为１个单位长度的小正方形组成的网格，现将一个直角三角形纸板随意放在其中，则线段犃犅 的长度为　　　　． A B C 　　　　　　　　　　　　　　　 　第三章　勾股定理 ６４　 知识点二　勾股定理的验证 勾股定理的验证有很多种方法，可以通过测量计算，也可以用等面积来证明，其中结合图形的拼接、割补， 通过面积证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 推导过程 拼接法 a a b b c c 伽菲尔德总统证法（一线三等角） 用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个 直角梯形，依据整体面积等于各部分面积之和，得犛梯形＝ １ ２ 犪犫×２＋ １ ２ 犮２；依据梯形面积公式，得犛梯形＝ １ ２ （犪＋犫）（犪＋ 犫），因此 １ ２ （犪＋犫）（犪＋犫）＝ １ ２ 犪犫×２＋ １ ２ 犮２，即犪２＋犫２＝犮２． 割补法 b a c c c c 赵爽弦图（风车型） 把边长为犮的正方形分割成四个全等的直角三角形和一个 小正方形，则犮２＝４× １ ２ 犪犫＋（犫－犪）２，即犮２＝犪２＋犫２． a a a a b b b b c c c c 在边长为犮的正方形的每条边上补上一个边长分别为犪，犫，犮 的直角三角形，得到一个以犪＋犫为边长的正方形，则犮２＝（犪 ＋犫）２－４× １ ２ 犪犫，即犮２＝犪２＋犫２． 【典型例题２】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火 柴盒的一个侧面犃犅犆犇倒下到犃犅′犆′犇′的位置，连接犆犆′．设犃犅＝犪，犅犆＝犫，犃犆＝犮，请利用此图证明勾 股定理：犪２＋犫２＝犮２． A Ba bc CD D′ B′ C′ 思路点拨：四边形犅犆犆′犇′的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表 示；从组成来看，由三个直角三角形组成．可利用三角形的面积公式来进行表示． 解：因为四边形犅犆犆′犇′为直角梯形，所以犛梯形犅犆犆′犇′＝ １ ２ （犅犆＋犆′犇′）·犅犇′＝ （犪＋犫）２ ２ ． 因为∠犃犅′犆′＝９０°，Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犃犅′犆′，所以∠犅犃犆＝∠犅′犃犆′． 所以∠犆犃犆′＝∠犆犃犅′＋∠犅′犃犆′＝∠犆犃犅′＋∠犅犃犆＝９０°． 所以犛梯形犅犆犆′犇′＝犛△犃犅犆＋犛△犆犃犆′＋犛△犇′犃犆′＝ １ ２ 犪犫＋ １ ２ 犮２＋ １ ２ 犪犫＝ 犮２＋２犪犫 ２ ．所以 （犪＋犫）２ ２ ＝ 犮２＋２犪犫 ２ ． 所以犪２＋犫２＝犮２． 【跟踪练习２】 １．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是 （　　） a b c Ａ a a a a b b b b c c c c Ｂ a a b b c c Ｃ A B F a b c CD E Ｄ ＬＪ·数学·七年级·上 ６５　 ２．公元３世纪，我国数学家赵爽在注《周髀算经》中，就利用下列弦图证明了勾股定理．即用４个全等的直角三 角形拼成如图所示的正方形犃犅犆犇，中间留出一个小正方形空格．请你利用这个弦图证明勾股定理． A B a b c C D b-a 知识点三　勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 　　（１）从实际问题中抽象出几何图形（建模）； 　　（２）确定要求的线段所在的直角三角形（不是直角三角形的，通过作辅助线构造直角