12.3角平分线的性质-【高效课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步课件+练习（人教版）

第12.3角平分线的性质 人教版数学八年级上册 人教版数学八年级上册 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据. 2.探究并证明角平分线的性质. 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 学习目标 人教版数学八年级上册 如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明：在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知） ， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）. ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）. ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. 情境引入 人教版数学八年级上册 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ 如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线. A B O 互动新授 人教版数学八年级上册 A B O M N C 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M. （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 你能证明OC是∠AOB的角平分线吗？ 互动新授 人教版数学八年级上册 证明：∵在 中 ∴ ∴∠MOC=∠NOC 即OC是∠AOB的角平分线 A B O M N C 互动新授 人教版数学八年级上册 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论. 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 互动新授 人教版数学八年级上册 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 互动新授 人教版数学八年级上册 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO＝∠PEO＝ 90°. 在△PDO 和△PEO 中， ∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC， OP＝OP， ∴△PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD＝PE. 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 互动新授 人教版数学八年级上册 符号语言表示： 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 互动新授 人教版数学八年级上册 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 互动新授 人教版数学八年级上册 S 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）? 互动新授 人教版数学八年级上册 B A S C D M N 解：在Rt△ABC与Rt△ABD中： ∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）． AB=AB BC=BD ∴∠CAB=∠DAB 即点B在∠CAD的角平分线上 角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 你能得出什么结论呢？ 互动新授 人教版数学八年级上册 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，PF⊥AC交于点F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的 距离相等） 同理：PE=PF ∴ PD=PE=PF ∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等. A B C P D