专题03 空间向量基本定理4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题03 空间向量基本定理4种常见考法归类 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y b＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？ [提示]　(1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置． 3．正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．对基底和基向量的理解 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (2)基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面． (3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 5．基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 6．基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 7．用基底表示向量的三个步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 8．用向量法证明线线平行与垂直 (1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可． 9．基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量． (2)用基向量表示出直线的方向向量． (3)用|a|＝求长度，用a·b＝0⇔a⊥b，用cos θ＝求夹角． (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题． 10．用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 基底的判断 考点二 用基底表示向量 考点三 利用空间向量基本定理求参数 考点四 空间向量基本定理的应用 （一）利用空间向量基本定理证明位置关系 （二）用基底法求空间向量的数量积 （三）利用空间向量基本定理求距离、夹角 考点一 基底的判断 1．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．，，两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C．，，能构成空间另一个基底 D．若，则实数，，全为零 2．【多选】（2023·高二课时练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知，则，与任何向量都不构成空间的一组基 C．若，，不构成空间的一组基，