专题02 空间向量的数量积运算6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题02 空间向量的数量积运算6种常见考法归类 1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. (2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [提醒]　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c⇒b＝c，a·b＝k⇒b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 4．空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 5．空间向量的夹角与向量位置关系 (1)〈a，b〉＝0时，向量a，b方向相同． (2)〈a，b〉＝π时，向量a，b方向相反． (3)〈a，b〉＝时，向量ab. 6．对空间向量的数量积的两点说明 (1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积． (2)运算符“·”：其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替． 7．对空间向量数量积性质的三点说明 (1)向量模的应用：式子|a|＝可以解决有关空间长度问题． (2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得． (3)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0则两向量对应的直线相互垂直． 8．空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 9．在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 10．用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 11．利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直． 12.利用向量数量积求夹角问题的思路 (1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． 图示如下：