专题1.21 特殊平行四边形（挑战压轴题分类专题）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.21 特殊平行四边形（挑战压轴题分类专题） 【考点1】特殊平行四边形➼➻作图题➼➻求角度★★线段长★★证明 1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图，在平行四边形中，以A为圆心，为半径画弧交 于点F，再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接． (1) 试判断四边形的形状，并说明理由； (2) 连接，相交于点O，若四边形的周长为，，求的长． 2．（2019·内蒙古巴彦淖尔·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形． （2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF＝4，求AE的长和∠C的度数． 3．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF． （1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形 ABEF 是菱形； （2）若菱形 ABEF 的边长为 2，AE＝ 2 ，求菱形 ABEF 的面积． 【考点2】特殊平行四边形➼➻折叠问题➼➻求角度★★线段长★★证明 4．（2013·贵州遵义·中考真题）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值． 5．（2022·海南·统考中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． (1) 当点P是的中点时，求证：； (2) 将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ① 证明，并求出在（1）条件下的值； ② 连接，求周长的最小值； ③ 如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 6．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【考点3】特殊平行四边形➼➻旋转问题➼➻求角度★★线段长★★证明 7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点． (1)如图1，当点在上时，线段和的数量关系是___________，的度数为___________. (2)如图2，将正方形绕点A旋转任意角度. ①请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； ②当点H在直线AD左侧时，连接AH，则存在实数m，n满足等式，直接写出___________，___________； (3) 若，，则正方形AEFG绕点A旋转过程中，点F，H是否重合？若能，请直接写出此时线段BG的长，若不能，说明理由. 8．（2023·河北秦皇岛·统考二模）综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动． 问题情境：在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)操作判断 当时，如图1，连接，试判断四边形的形状，并证明； (2)深入探究 连接，取的中点，连接．善于思考的小东发现当点在边上运动时，的值始终不变，请你利用图2求的值． (3)解决问题 若，，如图3，在（2）的探究中，当时，直接写出两点之间的距离． 9．（2022·山西运城·统考一模）综合与实践 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，将△OBC绕点C顺时针旋转，点B对应点为点E，点O对应点为点F． (1)当点E落在CD的延长线上时，请解答以下两个问题 ①如图1，若AB＝2a，BC＝2，连接OE，则______（用含a的代数式表示）； ②如图2，延长BD交EF于点G，试猜想BG与EF的位置关系并加以证明； (2) 如图3，在图1的基础上继续绕点C旋转△OBC，点B对应