3.2.2 函数的奇偶性 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的奇偶性 从生活中这些图片中你感受到了什么？  这些几何图形中又体现了什么？  从图象对称的角度把这些函数图象分类 这些函数图像体现着哪种对称的美呢？ f(x)=x 数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具有对称特征的美丽图像,比如                   等函数图像. 如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性. 观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果   x∈I,都有-x∈I，且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(od function). 注意 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的（即定义域关于原点对称） 1.判断下列函数的奇偶性： 先求定义域，看是否关于原点对称； 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立，即 f(-x)＋f(x)=0或f(-x)－f(x)=0是否恒成立. 用定义判断函数奇偶性的步骤： 奇偶函数的性质 奇函数的图象关于原点对称,如： 偶函数的图象关于y轴对称,如： 若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(x)=0 1.判断下列函数的奇偶性 2.已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)＝（     ）   A.4          B.3             C.2          D.1 B 3.f(x)为偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0时，有（     ）  A . f(x)≤2   C．f(x)≤－2 B．f(x)≥2   D．f(x)∈R B 思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．f(x)的大致图象如图 ，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2  答案：B 利用偶函数的对称性，可根据函数图象在 y 轴一侧的情况得到 y 轴另一侧的情况  1.已知f(x)是偶函数，g(x) 是奇函数，试将下图补充完整. 解答 利用偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，画出图象即可。 答案：（1）偶函数；（2）奇函数. 3.(1) 从偶函数的定义出发，证明函数y=f(r) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2) 从奇函数的定义出发，证明函数y=f(xr)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 函数奇偶性的概念； 平移之后函数具有奇偶性． 奇偶性的概念 1.根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性. 由图象可知 该函数的单调区间为: [-1,0),[0.2),[2.4).[4.5]; 其中在区间[0.2)和[4.5]上单调递增，在区间[ -1.0)和[2.4)上单调递减 2.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性。   答案：（1）偶函数；（2）奇函数。 6.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 解答：心率关于时间的一个可能的图象如图 所示，其中y轴表示心率，x轴表示时间.   10.如图所示。动物园要建造- -面靠墙的两问面积相同的矩形照猫居室。如果可供建造国墙的材料总长是30m.那么宽x(单位:m)为多少时才能使所建造的每间腾猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少? 解：（1）（1,2）; （2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a). (1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； (3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式；  (4)求 f(－x)的表达式； 总结 利用定义判断函数奇偶性的