1.3.1空间直角坐标系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.3空间向量及其运算的坐标表示(1) 空间直角坐标系 复习导入： 1.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组(x,y,z,使得 p=xa+yb+zc 我们把a,b,c刚做空间的一个基底， 学习了空间向量基本定 理，建立了“空间基底”的概念， 我们就可以利用基向量表示任意一个向量了，进而把空 间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的 引入为几何问题代数化奠定了基础. 2.在平面向量中，我们以 平面直角坐标系中与 x轴、y轴方向 相同的两个单位向量，为基底，建立了向量的坐标与点的 坐标的一一对应的关系，从而把平面下向量的运算划归为 数的运算. 类似地，为了把空间向量地运算化归为数的运算，能否利 用向量空间基本定理和空间单位正交基底，建立空间直角 坐标系，进而建立空间向量地坐标和空间点的坐标的一一 对应呢？ 下面我们来研究这一问题 学习新课： 1.空间直角坐标系 我们知道，平面直角坐标系由平面内 两条互相垂直、原点重合的数轴组成 利用正交基底的概念， 我们还可以这样理解平面直角坐标系： 平面内选定一点O和一个单位正交基底，}，以O为原点， 分别以，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立 两条数轴：x轴、y轴 那么我们就建立了一个 平面直角坐标系. 类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底 E,万， 以O为原点，分别以，，k的方向为正方向、以它们的长为单 位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴， x轴叫横轴，y轴叫纵轴，z轴叫竖轴， 它们都叫做坐标轴 这时我们就建立了一个 空间直角坐标系Oyz. O叫做原点， i,j,k都叫做坐标向量 通过每两条坐标轴的平 面叫做坐标平面」 般∠x0y=135 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平l 或45°∠y0z=909 它们把空间分成八个部分.一般称八个卦限 2点和向量的坐标表示 探究1： 在平面直角坐标系中， 每个点和向量都可用一对有序实数 (即它的坐标)表示 对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类 似的表示呢？ z个 如图，空间任意一点A,对应一个向量 O4, 点A的位置由向量O唯一确定， 由空间向量基本定理可 知， 存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 0风=xi+y万+zk 在单位正交基底 存，，下与向量ò风 对应的有序实数组x,y,z, 叫做点A在空间直角坐标系中的 坐标， 记作Ax,y,z 其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，2叫做点A的竖坐标. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量ā， 作ò=，由空间向量基本定理可 知， 存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 a=xi+yj+zk 有序实数组(x,y,z叫做ā在空间直角 坐标系Oxyz中的坐标， 记作a=（x,y,z) 这样，在空间直角坐标 系，空间中的点和向量都可以用 三个有序实数表示了 探究2： 在空间直角坐标系Oxz中，对空间任意一点A,或任意 一个向量O人你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z吗？ 事实上，如图，分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，z个 依次交x轴，y轴和z轴于点B,C,D. 则O=08+0水+ò风 你能给出证明吗？ 设点B,C和D,在x轴、y轴和z轴上的坐标 B 分别是x,y,z 那么点A或向量O的坐标为(x,y,z: 当向量的起点在原点时，向量终点坐标与向量 坐标相同 例题分析： 例1.如图，在长方体OABC-A'B'CD中， 0A=3,0C=4,0D'=2, 以4×D议为单位正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系Oz. B (1)写出D',C,A,B四点的坐标： (2)写出向量RB8ASS的坐标 解： (1).点D在z轴上，且OD'=2, 0D=0i+0j+2k ∴.D00,2同理，点C0,4,0 点A'在x轴，y轴，z轴上的射影分别为A,O,D .点A'3,0,2) 点B在x轴，y轴，z轴上的射影分别为A,C,D'∴.点B3,4,2 (2) 18-0 =0i+4j+0k =(0,4,0) B8=-O8 =-0i+0j+2k) =0i+0j-2k =(0,0,-2 &=汉+汲tX A&=汉+DS =-dX+DS+D风 =-3i+4j+2k =-O%+08 =(-3,4,2 =-3i+0j+0K)+0i+4j+0E =-3i+4j+0k =-3,4,0)