1.4.2 充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 第一课时 1 充分条件，必要条件的定义: 若 ，则p是q成立的＿＿＿＿条件 q是p成立的＿＿＿＿条件 充分 必要 若pq ,则p不是q的充分条件，q 不是p 的必要条件． 复习回顾 下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形 全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 （4）若 是空集，则A与B均是空集。 命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 将命题“若p则q”，中的条件和结论对调，就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题。 思考1： 新知探究 定义： 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就 记作：p⇔q，读作：p等价于q， 此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．此时，p和q互为充要条件. 上述命题（1）（4）中，p和q互为充要条件. 新知探究 例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1) p：四边形是正方形， q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2) p：两个三角形相似， q：两个三角形三边成比例； (3) p：xy>0， q：x>0，y>0； (4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根， q：a＋b＋c＝0(a≠0)． q⇏p， p不是q的充要条件 p⇔q，p是q的充要条件 p⇏q，p不是q的充要条件 p⇔q，p是q的充要条件 典例分析 5 探究：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ “四边形两组对边分别平行”⇒“四边形是平行四边形” “四边形是平行四边形”⇒“四边形两组对边分别平行” “四边形两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件。 新知探究 例4：已知，⊙O的半径为r，圆心O到直线 l 的距离为 d，求证：d＝r是直线 l 与⊙O相切的充要条件． O P l 分析：设p：d＝r， q：直线 l 与⊙O相切， 要证明p是q的充要条件， 只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)． 典例分析 7 证明：设p：d＝r，q：直线 l 与⊙O相切． (1)充分性(p⇒q)：如图，作OP⊥l于点P， 则OP＝d，若d＝r，则点P在⊙O上， 在直线l上任取一点Q(异于点P)， 连接OQ，在Rt∆OPQ中，OQ>OP＝r， ∴除点P外直线l上的点都在⊙O的外部， 即直线l与⊙O仅有一个公共点P， ∴直线 l 与⊙O相切． 例4：已知，⊙O的半径为r，圆心O到直线 l 的距离为 d，求证：d＝r是直线 l 与⊙O相切的充要条件． Q O P l 典例分析 8 例4：已知，⊙O的半径为r，圆心O到直线 l 的距离为 d，求证：d＝r是直线 l 与⊙O相切的充要条件． 证明：设p：d＝r，q：直线 l 与⊙O相切． (2)必要性(q⇒p)：若直线 l 与⊙O相切， 不妨设切点为P，则OP⊥l， ∴d＝OP＝r． 由(1)(2)可得， d＝r是直线 l 与⊙O相切的充要条件． O P l 典例分析 9 课本22页练习1、2、3 课堂练习 证明：设p：梯形ABCD为等腰梯形， q：AC＝BD． (1)充分性(q⇒p)： 如图，过D作AC的平行线，交BC延长线于点E， 则四边形ADEC是平行四边形，∴DE＝AC＝BD， ∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，∴∆ABC≅∆DCB， ∴AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形． 3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD． A B C D E 课堂练习 11 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD． A B C D 证明：设p：梯形ABCD为等腰梯形， q：AC＝BD． (2)必要性