1.3 正方形的性质与判定 暑假自学同步练习 2022--2023学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 暑假自学同步练习 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．下列说法中，正确是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形 2．下列命题中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 3．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN=（　　） A． B． C．3 D．6 4．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直 C．对角线互相平分 D．四条边相等 5．如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A． B．4 C．2 D． 6．如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到位置．若四边形的面积为36，，则的长为（　　） A． B． C．6 D． 7．如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类.现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（　　） A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b 8．如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=4EF，则正方形ABCD的面积为（　　） A．17S B．13S C．16S D．12S 10．如图，将边为 的正方形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，则图中阴影部分的面积为(　　) A． － B．3－ C．2－ D．2－ 二、填空题 11．如图，点E在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，则∠EAD＝　 　°． 12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　 　，使得该菱形为正方形． 13．如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝　 　． 14．如图，在正方形 的内侧，作等边 ，则 的度数是　 　． 15．将一张正方形的纸片，对折两次，相邻两条折痕(虚线)间的夹角为　 　度． 16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC= ，OC= ，则另一直角边BC的长为　 　． 三、解答题 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，. 求证：四边形是正方形. 18．如图所示，点在正方形的对角线上，求证：． 19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OE＝OF.求证：AE＝BF. 20．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PFAP交DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G． （1）求证：AP=PF； （2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式． 21．如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2. 22．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________； （2）求正方形MNPQ的面积. 参