专题24 圆锥曲线综合题-备战2024年广东新高考数学真题模拟题分类汇编

专题24 圆锥曲线综合题 1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 2．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 3．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 4．（2023•深圳一模）已知双曲线与直线相交于、两点，为线段的中点． （1）当变化时，求点的轨迹方程； （2）若与双曲线的两条渐近线分别相交于、两点，问：是否存在实数，使得、是线段的两个三等分点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 5．（2023•广州模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合． （1）求抛物线和圆的方程； （2）设，为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点，，，和点，，，．且，证明：点在一条定曲线上． 6．（2023•广州二模）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点．当四边形的面积最小时，求的方程． 7．（2023•广州一模）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求的方程； （2）直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为为坐标原点），的面积为的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由． 8．（2023•深圳二模）已知双曲线：，点为双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右顶点，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，点在轴上． （1）若点，，过点作的垂线交该双曲线于，两点，求的面积； （2）若点不与重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 9．（2023•佛山一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且． （1）求椭圆的方程； （2）设过的直线交椭圆于、两点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 10．（2023•广东一模）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点．当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好是边长为2的等边三角形． （1）求椭圆标准方程； （2）若为原点，且满足，求的面积． 11．（2023•佛山二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． （1）求双曲线的方程； （2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 12．（2023•广东模拟）已知椭圆，、两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，是椭圆的右焦点，，直线与椭圆相切与在第一象限），与轴相交于异于，记为坐标原点，若是等边三角形，且的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）、两点均在直线，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点，点，若、关于原点对称，求的最小值． 13．（2023•汕头一模）如图，已知为抛物线内一定点，过作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，，，，且，分别是线段，的中点． （1）若且时，求面积的最小值； （2）若，证明：直线过定点． 14．（2023•广州二模）已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上． （1）当，且为线段的中点时，证明：； （2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 15．（2023•湛江一模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，△的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）过且与垂直的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 16．（2023•茂名一模）已知椭圆的左焦点为，过椭圆左顶点和上顶点的直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若为平面上一点，，分别为椭圆的上、下顶点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，．试判断点到直线的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 17．（2023•广东模拟）如图，椭圆与圆相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程． 18．（2023•江门一模）已知是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，为垂足且位于第一象限，直线与直线