专题22 数列综合题-备战2024年广东新高考数学真题模拟题分类汇编

专题22 数列综合题 1．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和． （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 2．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 3．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 4．（2023•深圳一模）记为数列的前项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 5．（2023•广州模拟）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 6．（2023•广州二模）设是数列的前项和，已知，． （1）求，； （2）令，求． 7．（2023•广州一模）已知数列的前项和为，且． （1）求，并证明数列是等差数列； （2）若，求正整数的所有取值． 8．（2023•深圳二模）已知数列满足，，，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列中的任意三项均不能构成等差数列． 9．（2023•佛山一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应．坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米．坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构．底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高． （1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项； （2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米．根据你得到的等差数列，连续取用该数列前项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、、表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由． 10．（2023•广东一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足． （1）求数列的通项公式． （2）记是数列的前项和，是数列的前项和．当时，试比较与的大小． 11．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）记为数列在区间，中最大的项，求数列的前项和． 12．（2023•广东模拟）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）数列与中的所有项分别构成集合，，将集合且中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和． 13．（2023•汕头一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求表示不超过的最大整数）． 14．（2023•广州二模）设数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：． 15．（2023•湛江一模）已知为数列的前项和，． （1）证明：数列为等比数列； （2）设数列的前项和为，证明：． 16．（2023•荔湾区校级模拟）已知数列中，对任意的，都有． （1）若为等差数列，求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17．（2023•茂名一模）已知为数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式： （2）若，为数列的前项和．求，并证明：． 18．（2023•广东模拟）已知数列，时，． （1）求数列的通项公式； （2）为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和． 19．（2023•江门一模）已知数列满足，，且． （1）求数列是通项公式； （2）求数列的前项和． 20．（2023•梅州一模）记是正项数列的前项和，若存在某正数，，都有，则称的前项和数列有界．从以下三个数列中任选两个，①；②；③，分别判断它们的前项和数列是否有界，并给予证明． 21．（2023•深圳模拟）已知等比数列的前项和为，其公比，，且． （1）求数列的通项公式； （2）等比数列的前项和为，其公比，，求证：． 22．（2023•禅城区校级一模）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，，，求数列的前项和． 23．（2023•广东二模）已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项的和． 24．（2023•广东模拟）已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若为正项等比数列，，求数列的前项和． 25．（2023•湛江二模）已知两个正项数列，满足，． （1）求，的通项公式； （2）用表