专题21 立体几何综合题-备战2024年广东新高考数学真题模拟题分类汇编

专题21 立体几何综合题 1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 2．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 4．（2023•深圳一模）如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为2的菱形，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2023•广州模拟）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，，为的中点，点在上，． （1）证明：平面； （2）若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱中，，点是的中点，点在上，平面． （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2023•广州一模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 8．（2023•深圳二模）在三棱柱中，，，． （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 9．（2023•佛山一模）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值． 10．（2023•广东一模）如图所示的在多面体中，，，平面平面，平面平面，点，分别是，中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值． 11．（2023•佛山二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点． （1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长； （2）若要经过点，，将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由． 12．（2023•广东模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，，，、分别为、的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 13．（2023•汕头一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，． （1）已知点为上一点，且，求证：与平面不平行； （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积． 14．（2023•广州二模）在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，是的中点，，，． （1）证明：平面． （2）若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 15．（2023•湛江一模）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，． （1）证明：点在平面的正投影在直线上； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2023•荔湾区校级模拟）已知正方形的边长为4，、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上． （1）若为的中点，且直线与由，，三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求线段的长，若不存在，请说明理由． 17．（2023•茂名一模）如图所示，三棱锥，为圆的直径，是弧上异于、的点．点在直线上，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（2023•广东模拟）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）． （1）若是棱中点，完成： （ⅰ）画出的重心（在图中作出虚线），并指出点与线段的关系： （ⅱ）求证：平面； （2）若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值． 19．（2023•江门一模）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面． （1）求的值； （2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（2023•梅州一模）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于．把沿翻折至△的位置，连接、． （1）为边的一点，若，求证：平面； （2）当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值． 21．（2023•深圳模拟）已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点． （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 22．（2023•禅城区校级一模）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值． 23．