空间向量与立体几何 学案——2024届北京市高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《空间向量与立体几何》 1、 知识点总结 第一部分　立体几何初步 1. 1　基本立体图形 一、空间几何体 1. 多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 2. 旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 这条定直线叫做旋转体的轴. 二、棱柱、棱锥、棱台 1. 棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 ①记作：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 2. 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。①记作：棱锥S-ABCD 3. 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。 ①记作：棱台ABCD-A1B1C1D1 三、棱柱的分类与正棱柱的性质 1. 棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱、底面分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，平行六面体的六个面都是平行四边形. (3)常见的四棱柱及其关系 2. 正棱柱的性质 (1)侧棱垂直于底面，侧面垂直于底面； (2)侧面都是全等的矩形； (3)底面是全等的正多边形. 四、棱锥的分类与正棱锥的性质 1. 棱锥的分类 　按底面多边形的边数分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 2. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 3. 正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形； (2)正棱锥的各侧棱都相等； (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 五、棱台的分类与正棱台的性质 1. 棱台的分类 　　由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 2. 正棱台的性质（由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. ） (1)正棱台的侧棱都相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高(正棱台的斜高)相等. (2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形. (3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；正棱台的两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一个直角梯形. 六、圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体 1. 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。①记作：圆柱O'O 2. 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。①记作：圆锥SO 1. 2　立体图形的直观图 一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 1. 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 2. 已知图形中平行于x轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段 3. 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段， 在直观图中长度为原来的一半. 二、画空间几何体的直观图的一般步骤 1. 在已知图形中取水平平面，作互相垂直的x轴、y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，∠yOz=90°. 2. 画直观图时，把x轴、y轴、z轴画成相对应的x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'=45° (或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴、y'轴确定的平面表示水平面. 3. 已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y' 轴和z'轴的线段. 4. 已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的 线段，在直观图中长度为原来的一半. 5. 擦去作为辅助线的坐标轴，将被遮挡的部分改为虚线，就得到了空间几何体的直 观图. 三、平面图形的直观图及相关计算 1. 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中保持不变，而平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半，并且∠x'O'y'=45°(或135°)，因此平面多边形的直观图中任意一点到x'轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的sin 45°=. 2. 设一个平面多边形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为