1.1.1 空间向量及其线性运算自学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算自学案 学习目标 1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。 2. 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。 3. 掌握空间向量的线性运算。 4. 体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。 5. 体会类比、数形结合等数学思想方法，发展数学思维，培育科学精神。 1、 空间向量的基本概念 1. 空间向量：在_______中，具有_____和_______的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做_________________. 2. 单位向量：________________，向量的单位向量为_______。 3. 零向量：______________，零向量的方向______，它与任意向量都_______。 4. 相等向量：______相等且______相同的向量。 5. 相反向量：______相等且______相同的向量。 6. 共线（ ）向量：如果表示若干空间向量的__________所在的直线互相_____或______，那么这些向量叫做_________（平行）向量。 7. 方向向量：在直线上取非零向量，把与向量_____的_____向量称为直线的方向向量。 8. 共面向量：_______同一个平面的向量，叫做共面向量。 2、 空间向量的线性运算 1. 加法 三角形法则： 平行四边形法则 2. 减法 三角形法则： 3. 数乘运算 当时，（与同向）； 当时，（与反向）； 当时，。 4. 运算律 交换律：； 结合律：； 分配律：。 3、 空间向量共线、共面的有关定理 1. 共线向量定理 对任意两个空间向量，的充要条件是存在______，使________。 2. 共面向量定理 向量与________的两个空间向量共面的充要条件是存在_______的实数对______，使_________。 4、 自我检测 1. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 零向量与任一向量都平行 C. 零向量是没有方向的 D. 若两个相等向量的起点不同，则其终点必相同 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. 与实数类似，对于两个向量，有三种大小关系 C. 向量的模是一个正实数 D. 若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 3.（多选题）下列说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量都不相等 C. 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 D. “向量的模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件 4. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个不共线的空间向量，若，且A,C,D三点共线，则实数的取值为_________。 6. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数等于__________。 7. 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在棱B1B和D1D上，且. （1） 求证：A,E,C1,F四点共面 （2） 若，求的值。 自我检测答案 1. C ；2. D ；3.CD ；4. A ；5. ；6. 6 ； 7.（1）证明：连接AC1,AC，则=，所以由共面向量定理可知A,E,C1,F四点共面。 （2），又，。 学科网（北京）股份有限公司 $