13.4 课题学习 最短路径问题同步练习 2023-2024学年人教版数学八年级上册

《13.4　课题学习　最短路径问题》同步练习 一、基础巩固 知识点 最短路径问题 1.如图,直线l是一条河,P,Q是两个村庄,计划在l上的某处修建一个水泵站M,向P,Q两村庄供水,现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是 (　　) 2.[2023辽宁鞍山期末]如图,在4×4的正方形网格中有A,B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选在 (　　) A.C点 B.D点 C.E点 D.F点 3.[2023河北唐山丰南区期中]如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和OB上的动点,当△PMN的周长取最小值时,∠MPN的度数为 (　　) A.140° B.100° C.50° D.40° 4.[2023河北邢台三中期末]如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,面积是16,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,若D为BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM的周长的最小值为 (　　) A.6 B.8 C.10 D.12 5.[2022河北唐山模拟]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,5)和(4,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是　　　　. 6.[2023河北沧州期中]如图,等边三角形ABC的边长是4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AC上一点.若AE=2,当EF+CF的值最小时,∠ECF的度数为　　　　. 7.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边的中点,请你在BC边上确定一点P,使得△PDE的周长最小.在图中作出点P. 8.如图,为了做好交通安全工作,某交警执勤小队从A处出发,先到公路l1上设卡检查,再到公路l2上设卡检查,最后再到B处执行任务,他们应如何走才能使总路程最短? 二、能力提升 1.[2023河南安阳殷都区期末]如图,在△ABC中,AC=BC,AB=6,△ABC的面积为12,CD⊥AB于点D,EF垂直平分BC交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点,则△PBD周长的最小值是 (　　) A.6 B.7 C.10 D.12 2.[2023河北石家庄期中]如图,在四边形ABCD中,∠DAB=130°,∠D=∠B=90°,点M,N分别是BC,CD上的两个动点,当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为　　　　　. 3.[2023江苏无锡期中]如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是　　　　. 4.如图1,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短. (1)如图2,作出点A关于l的对称点A',线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得路线ACB是最短的. 为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点C',连接AC',BC',证明AC+CB<AC'+C'B.请完成这个证明. (2)如果在A,B两个城镇之间规划一个生态保护区(正方形区域),其位置如图3所示,并规定燃气管道不能穿过该区域,请给出这时铺设管道的方案(不需说明理由). 5.某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河(甲和乙),如图所示,A为校本部大门,B为分校大门.为了方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路段最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明桥的位置. 参考答案 一、基础巩固 1.D　【解析】　作点P关于直线l的对称点P',连接P'Q,交直线l于点M,则点M即水泵站的位置.故选D. 2.A　【解析】　如图,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B,则A'B与直线a的交点即点P,此时PA+PB最短.由图可知点P应选在C点.故选A. 3.B　【解析】　如图,分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于点M,交OB于点N,连接OP,OP1,OP2,此时△PMN的周长最小.根据轴对称的性质,得OP1=OP=OP2,∠OP1M=∠OPM,∠NPO=∠NP2O,∠NOP=∠NOP2,∠MOP=∠MOP1,PM=P1M,PN=P2N,∴∠P1OP2=2∠AOB=80°,∴∠OP1P2+∠OP2P1=100°,∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°.故选B. 4.C　【解析】　如图,连接AD,AM.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC= BC×AD=×4×AD=16,∴AD=8.∵EF是线段AC的垂直平分线,∴MA=MC.∵AD≤AM+ M