第十三章 轴对称全章专项拓展训练（五）2023-2024学年人教版数学八年级上册

《第十三章　轴对称》全章专项拓展训练（五） 专项一 等腰三角形的性质与判定的常考题型 类型1 求角度 1.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B的大小为(　　) A.32° B.36° C.37° D.74° 2.[2023陕西渭南期中]如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BE=CF,BD=CE. (1)求证:△DEF是等腰三角形. (2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数. 类型2 求线段的长度 3.[2023江苏泰州期中]如图,点E是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线的交点,过点E作ME∥BC,交AB于点M,交AC于点N,若BM-CN=9,则线段MN的长度为　　　　.  4.[2023河北石家庄期中]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,AE=BD,连接DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F. (1)求证:CE=CF. (2)若BD=CE,AB=9,求线段DF的长. 类型3 证明线段或角之间的数量关系 5.[2023河北邯郸永年区期末]如图,在△ABC中,D为边BC上一点,AB=AD=CD. (1)求证:∠ABC=2∠C. (2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E,若AD平分∠BAC,求证:AE=AB. 6.[2023河北保定期末]在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形ACD,E为AC的中点,连接DE并延长交BC于点F,连接BD. (1)如图1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度数; (2)如图2,∠ACB的平分线交AB于点M,交EF于点N,连接BN. ①补全图2; ②若BN=DN,求证:MB=MN. 专项二 轴对称图形中的对称轴是“直线” 1.指出角的对称轴. 2.画出如图所示的正方形的对称轴. 3.△ABC三个顶点的横坐标不变,纵坐标均乘-1后得到△DEF,则△ABC与△DEF的位置关系是 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.△ABC向下平移1个单位长度后得到△DEF 4.已知点P的坐标为(5,-3). (1)点P关于x轴对称的点的坐标为　　　　;  (2)点P关于y轴对称的点的坐标为　　　　.  专项三 对称轴的条数问题 1.如图,在2×2的正方形网格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出网格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,并在下面的网格纸中一一画出所有符合条件的三角形.(所给的六个网格纸未必全用) 2.如图,AF平分∠BAC,P是AF上任意一点,过点P向AB,AC作垂线PD,PE,垂足分别为D,E,连接DE.求证:AF垂直平分DE. 参考答案 专项一 等腰三角形的性质与判定的常考题型 1.C　【解析】　∵AD=AC,E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°.∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°.∵AD=BD,∴∠B=∠BAD,∴∠ADC=2∠B=74°,∴∠B=37°.故选C. 2.【解析】　(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. 在△DBE和△ECF中, ∴ △DBE≌△ECF(SAS),∴DE=EF, ∴ △DEF是等腰三角形. (2)由(1)知△DBE≌△ECF,∴∠BDE=∠CEF. ∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠B=×(180°-40°)=70°, ∴∠BDE+∠BED=110°,∴∠CEF+∠BED=110°, ∴∠DEF=180°-(∠CEF+∠BED)=70°. 3.9　【解析】　∵BE平分∠ABC,∴∠MBE=∠CBE.∵ME∥BC,∴∠MEB=∠CBE,∴∠MBE= ∠MEB,∴BM=EM,同理,CN=EN.∵BM-CN=9,∴MN=ME-EN=BM-CN=9. 4.【解析】　(1)∵△ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∠ACB=60°. ∵AE=BD,∴AC-AE=BC-BD,即CE=CD, ∴△CDE是等边三角形,∴∠DEC=∠ECD=60°. ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠CEF=30°. ∵∠DCE=∠CEF+∠CFE=60°, ∴∠CEF=∠CFE=30°,∴CE=CF. (2)∵BD=CE,CE=CD,∴BD=CD. ∵AB=9,∴BC=9,∴BD=3,CD=6. ∵CE=CF=CD,∴CF=6, ∴DF=DC+CF=12. 5.【解析】　(1)∵AB=AD,∴∠ABC=∠ADB. ∵AD=CD,∴∠DAC=∠C, ∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C, ∴∠ABC=2∠C. (2)∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠CAD. ∵BE∥AD,∴∠DAB=∠ABE,∠E=∠CAD, ∴∠AB