第十三章 轴对称全章专项拓展训练（四） 2023-2024学年人教版数学八年级上册

《第十三章　轴对称》全章专项拓展训练（四） 专项一 与线段的垂直平分线有关的计算与证明 1.[2020河北唐山期末]如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若BC=8,△EBC的周长为18, 则直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为 (　　) A.8 B.10 C.16 D.18 2.[2021河北唐山三中月考]已知直线l是线段AB的垂直平分线,点M,N是直线l上的两点,若∠NBA=15°,∠MBA=45°,则∠MAN的度数为　　　　.  3.[2021河北唐山丰南区期中]如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD. 4.[2021河北张家口期末]如图,在△ABC中,∠BAC=110°,DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线. (1)若BC=10,求△DAF的周长; (2)求∠DAF的度数. 5.[2021山东聊城实验中学期中]如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DM交BC于点D,交AB于点M,点E为CD的中点,∠CAE=25°,∠ACB=65°,猜想BD与AC的数量关系,并说明理由. 6.如图,点P为△ABC三边垂直平分线的交点,∠PAC=20°,∠PCB=30°. (1)求∠PAB的度数; (2)判断∠APB与∠ACB的数量关系,并说明理由. 7.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,连接CO,BO. (1)求证:点O在AB的垂直平分线上. (2)若∠CAD=20°,求∠BOF的度数. 专项二 等腰三角形中的分类讨论问题 类型1 当顶角或底角不确定时分类讨论 1.已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,求锐角∠C的度数. 2.数学课上,张老师举了下面的例题: 例1　等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数. (答案:35°) 例2　等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数. (答案:40°或70°或100°) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题: 变式　等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答该变式题; (2)解第(1)题后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围. 类型2 当点的位置不确定时分类讨论 3.[2020河北石家庄二十二中月考]如图,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=10 cm,动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动,如果点P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,那么当t=　　　　时,△POQ是等腰三角形. 类型3 当高的位置不确定时分类讨论 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,求它的底角的度数. 类型4 当腰的垂直平分线不确定时分类讨论 5.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,∠AEB=80°,求∠EBC的度数. 参考答案 专项一 与线段的垂直平分线有关的计算与证明 1.B　【解析】　 ∵DE是AC的垂直平分线,∴AE=EC,点A、点C关于直线DE对称.∵ED交AB于点E,∴直线DE上点E到点C、点B距离之和最小.∵△EBC的周长为18,BC=8,∴BE+EC+8=18,∴BE+EC=10,即直线DE上的点到点C、点B距离之和的最小值为10.故选B. 2.60°或30°　【解析】　分两种情况:①当点M,N在AB两侧时,如图1,∵M,N是线段AB的垂直平分线上的两点,∴NA=NB,MA=MB,∴∠NAB=∠NBA=15°,∠MAB=∠MBA=45°, ∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=15°+45°=60°.②当点M,N在AB同侧时,如图2,同理可得∠NAB=15°,∠MAB=45°,∴∠MAN=∠MAB-∠NAB=45°-15°=30°.综上,∠MAN的度数为60°或30°. 3.【解析】　在△AOB与△COD中, ∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD, ∴点O在线段BD的垂直平分线上. ∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上, ∴OE垂直平分BD. 4.【解析】　(1)∵DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线, ∴DA=BD,FA=FC, ∴ △DAF的周长为AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10. (2)由(1)知DA=BD,FA=FC, ∴∠BAD=∠B,∠CAF=∠C. 在△ABC中,∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=70°. ∴∠DAF=∠BAC-∠BAD-∠CAF=∠BAC-∠B-∠C=110°-70°=40°. 5.【解析】　BD=AC.理由如下: 如图,