第11讲 正多边形和圆问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第11讲 正多边形和圆问题 学习目标 1.了解正多边形和圆的有关概念。 2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。 3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。 对知识点的解读 知识点1. 正多边形的有关概念 1. 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2. 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 3. 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 4. 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法：正多边形的有关概念记忆思维导图 知识点2. 正多边形和圆 1.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 知识点3. 正多边形的对称性 1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点4. 正多边形的性质 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. (1)正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心. (2)外接圆的半径叫作正多边形的半径. (3)内切圆的半径叫作正多边形的边心距. (4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 知识点5. 正多边形的有关计算 (1)正n边形的中心角怎么计算？ (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？ (3)边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？ 特别重要：圆内接正多边形的辅助线 (1)连半径，得中心角； (2)作边心距，构造直角三角形. 类型题例题解析 【例题1】（2023安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 【例题2】（2023上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 专题达标精练 1. （2023福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A. B. C. 3 D. 2. （2023甘肃兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 3. （2023山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 6．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是　 　． 7. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　 　． 9. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 10. 如图，正六边形和正五边形内接于，且有公