第07讲 切线的判定与性质问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第07讲 切线的判定与性质问题 学习目标 1.了解切线的概念，会画圆的切线。 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理。 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题。 对知识点的解读 知识点1．切线的性质 1. 切线与圆只有一个公共点． 2. 切线到圆心的距离等于圆的半径． 3. 切线垂直于经过切点的半径． 注意解题方法：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．这是圆中作辅助线的一种方法． 直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA. 知识点2．切线的判定 1. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）。 2. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 3. 定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。 注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。 注意解题方法：切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 知识点3．切线的推论: 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点4．三角形的内切圆 （1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等。 （2）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。 方法总结：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法 （1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; （2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 类型题例题解析 【例题1】（2023重庆）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【例题2】（2023龙东） 如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则__________． 【例题3】（2023江西）如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且． （1）求的长； （2）若，求证：为的切线． 专题达标精练 1. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 24cm 3. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=______． 4. 如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. （2023四川凉山）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径和的长． 6．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 7．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长． 8．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长． 9. （2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且． （1）求证：； （2）求证：平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第07讲 切线的判定与性质