第04讲 圆周角定理及其应用问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第04讲 圆周角定理及其应用问题 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理。 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题。 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用。 对知识点的解读 知识点1. 圆周角的定义 （1）定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （2）圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可． 知识点2. 圆周角定理及其推论 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 数学语言：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.则圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的数量关系为 2.圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等（见圆内接四边形知识，回头再理解）． 3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形 （1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲） （2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙） （3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙） 甲 乙 丙 4.圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 5.圆内接四边形 （1）定义：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. （2）推论 推论1：圆的内接四边形的对角互补. 推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 重要思维方法提醒： 1.解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 2.圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 3.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. 4.圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 5.学习圆心角和圆周角类比思维导图 类型题例题解析 【例题1】（2023广西）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【例题2】（2023甘肃威武）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________． 专题达标精练 1. （2023四川自贡）如图，内接于，是直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2.（2023广东省） 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 3. （2023湖北黄冈）如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. （2023山西）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（　　） A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD 7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 9. （2023深圳）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则______°． 10. （2023四川南充）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________． 11.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，=．若∠CAB=40°，则∠CAD=　 　． 12. 如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______° 13. （2023浙江嘉兴）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，