第02讲 垂径定理及应用问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第02讲 垂径定理及应用问题 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。 对知识点的解读 知识点1. 垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 数学语言：∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, 2．推论 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）。 说明：1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立。 2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据。 3.弓形中重要数量关系 弦AB的长为a，弦心距为d，弓形高为h，半径r之间有以下关系：d+h=r 知识点2. 涉及垂径定理解决问题时，辅助线的添加方法 1.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 2.在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 温馨提醒：理解垂径定理的思维图 类型题例题解析 【例题1】（2023广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 【例题2】（2023安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 专题达标精练 1. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（　） A．18° B．36° C．54° D．72° 3. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　） A．2 B．﹣1 C． D．4 4. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留） 5. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为________． 6. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为_____cm． 7. （2023浙江金华）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点． （1）求证：四边形为矩形． （2）已知的半径为4，，求弦的长． 8. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024人教版九年数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》 第02讲 垂径定理及应用问题 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形。 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。 对知识点的解读 知识点1. 垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 数学语言：∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, 2．推论 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 3）圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）。 说明：1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立。 2．垂