13.3 等腰三角形（课时4）同步练习 2023-2024学年人教版数学八年级上册

《13.3　等腰三角形》同步练习 （课时4　含30° 角的直角三角形的性质） 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中,∠C=30°,斜边AC的长为5 cm,则AB的长为 (　　) A.2 cm B. cm　　　C.3 cm　　　D.4 cm 2.如图,在等边三角形ABC中,AB=10,D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点E,则EC的长是 (　　) A. B.5 C.7 D. 3.[2023河北邯郸十中质检]如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm,则BC的长为 (　　) A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 4.[2023广东广州海珠区期末]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为 (　　) A.4 B.6 C.4 D.8 5.[2023安徽合肥蜀山区期末]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,AD⊥BC于点D,AC=2,则BD的长为　　　　. 6.[2023河北廊坊期末]如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为　　　　. 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,与∠ABC的两边分别相交于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线BM,交AC于点D.若AD=10,∠ABC=2∠A,则CD的长为　　 .  8.[2023辽宁大连旅顺口区期中]如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,BC的垂直平分线EF交BC于点E,交BD于点F,若BF=6,则AC的长为　　　　. 9.三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠1+∠2=110°,则∠3的度数是　　　　. 10.如图,已知OA=10,P是射线ON上一动点,∠AON=60°. (1)当△AOP是等边三角形时,求OP的长; (2)当△AOP是直角三角形时,求OP的长. 11.[2023江苏连云港赣榆区期中]如图,在△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,求DF的长. 参考答案 1.B　【解析】　在Rt△ABC中,∵∠C=30°,斜边AC的长为5 cm,∴AB=AC= cm.故选B. 2.D　【解析】　∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=10,∠A=60°.∵D是AB的中点,∴AD=AB=5.∵DE⊥AC, ∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AE=AD=,∴EC=AC-AE=.故选D. 3.C　【解析】　∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB⊥AD,AD=4 cm,∴BD=8 cm,∠ADB =60°,∴∠DAC=30°,∴∠DAC=∠C,∴CD=AD=4 cm,∴BC=BD+CD=8+4=12(cm) .故选C. 4.B　【解析】　 ∵CM平分∠ACB,∴∠NCM=∠BCM.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN. ∵MN∥BC, ∴∠AMN= ∠B,∠NMC=∠BCM,∴∠NMC=∠NCM=∠BCM=∠B,∴NM=NC,∠ACB= 2∠B.∵∠B+∠ACB=90°,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=2AC=6.故选B. 5.3　【解析】　∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠B+∠BAD=90°.∵∠BAC=90°, ∴∠DAC+∠BAD=90°, ∴∠DAC=∠B=30°,∴BC=2AC=4,CD=AC=1,∴BD=BC-CD=4-1=3. 6.　【解析】　如图,过点P作PD⊥CB于点D,∵∠ACB=60°,∴∠CPD=30°.∵PC=12, ∴DC=6.∵PM=PN,PD⊥CB,MN=3,∴MD=ND=,∴CM=CD-MD=6- . 7.5　【解析】　依题意,知BD是∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠ABD,∵∠C=90°,∠ABC= 2∠A,∴∠A=∠ABD= ∠CBD=30°,∴DB=DA=10.在Rt△BCD中,∠CBD=30°,∴CD=DB=5. 8.6　【解析】　如图,连接FC,∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD.∵EF是BC的垂直平分线,∴CF=BF=6,∴∠DFC=2∠DBC=∠ABC=30°,∴CD=CF=3,∴AC=2CD=6. 9.70° 10.【解析】　(1)当△AOP为等边三角形时,OP=OA=10. (2)当∠APO是直角时,∠OAP=30°,∴OP=OA=5; 当∠