专题01空间向量及其运算（4个知识点8种题型3个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题01空间向量及其运算（4个知识点8种题型3个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：空间向量的概念及几类特殊向量 知识点2：空间向量的线性运算 知识点3：空间向量共线、共面有关定理 知识点4：空间向量的数量积 【方法二】 实例探索法 题型1：空间向量的基本概念 题型2：空间向量的加法与减法运算 题型3：空间向量的数乘运算 题型4：空间向量共线、共面问题 题型5：空间向量数量积的概念及其运算 题型6：利用空间向量的数量积求夹角或余弦值 题型7：利用空间向量数量积求长度（距离或模） 题型8：利用空间向量的数量积解决垂直问题 【方法三】 差异对比法 易错点1：忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错 易错点2:忽视异面直线所成角的范围致错 易错点3：误用垂直性质定理致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：空间向量的概念及几类特殊向量 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 （要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开） 要点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向 量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 知识点2：空间向量的线性运算 1.空间向量的加减法 加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 运算律 交换律： 结合律： 要点诠释： （1） 空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法 则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2） 向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3） 空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 2.空间向量的数乘运算 定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当＞0时，a与a方向相同； 当＞0时，a与a方向相反； 当=0时，a=0． a的长度是a的长度的||倍．如右图所示． 运算律． 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(μa)= (μ)a． 要点诠释： （1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量． （2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义． 知识点3：空间向量共线、共面有关定理 1.共线定理 共线向量的定义． 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b． 注意： 0与任意向量是共线向量． 共线向量定理． 空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使． 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： 1 a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b； 2 存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b． 注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一． 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共 线，进而可以得到线线平行，这是证明