通法模型篇-2023年中考总复习数学【中考新方向】（河南省）

☆中考新方向数学 第三部分 通法模型篇 一、“将军饮马”类题型 模型讲解 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句写道：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中 隐含着一个有趣的数学问题，将军饮马问题.该问题早在古罗马时代就提出来了，一位亚历山 大城的将军每天重复着诗中类似的事情，他不知怎么走最近，就请教数学家海伦，海伦略加思 索解答了这个问题 如图所示，诗中将军在观望烽火之后，从山脚下的A点出发，走到河边饮 马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短，这就是将军饮马问题.解 河流 答方法是，作点A关于河的对称点A',连接AB,与河岸交于点P,在P处饮马 路程最短，原理是两点之间线段最短， 一求线段和最值 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC 1.两定一动型 的中点，AD=4,P为AD上任意一点，E为AC上 【例1】如图，AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M,N, 任意一点，则PC+PE的最小值为 MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任 意一点，则PA+PB的最小值是 B EM P N F 【思路分析】这里的点C是定点，P,E是动 【思路分析】这是最基本的“将军饮马”问题， 点，属于一定两动型将军饮马模型，由于 A,B是定点，P是动点，属于两定一动型将军 △ABC是等腰三角形，AD是BC的中线，则 饮马模型，根据常见的“定点定线作对称”，可 AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点 作点A关于EF的对称点A',根据两点之间， B,PC+PE=PB+PE.根据“垂线段最短”，当 线段最短，连接A'B,此时A'P+PB即为A'B. BE⊥AC时，BE最短.求BE时，用面积法即可. 而要求A'B,则需要构造直角三角形，利用勾 股定理解决， 【答案1 【答案15 3.两定两动型 2.一定两动型 【例3】如图，∠AOB=30°，OC=5,OD=12, 172·数学· 第三部分·通法模型篇 E,F分别是射线OA,OB上的动点，则CF+ 二■求角度 EF+DE的最小值为 【例4】P为∠AOB内一定 点，M,N分别为射线OA, 、D OB上一点，当△PMN周 D B 长最小时，∠MPN=80° 0 【思路分析】这里的C,D是定点，E,F是动 则∠AOB= 点，属于两定两动型将军饮马模型，依旧可以 【思路分析】这又是一定两 用“定点定线作对称”来考虑.作点C关于 动型将军饮马问题，我们应该先将M,N的位置 OB的对称点，点D关于OA的对称点. 找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于 【答案】13 OA的对称点P,关于OB的对称点P,连接P P",其与OA交点即为M,与OB交点即为N,如 图，易知∠DPC与∠AOB互补，求出∠DPC的度 数即可. 【答案】50 0强化练习 1.如图，在边长为2的正三角形ABC中，E, ∠B=∠E=90°，在BC, F,G为各边的中点，P为线段EF上一动 DE上分别找一点M,N, 点，连接BP,GP,则△BPG周长的最小值 使得△AMN的周长最小， M 为 则∠AMN+∠ANM的度 数为 4.如图，四边形ABCD是矩形，AB=5,BC= 12,M是对角线BD上一动点，点M,与点 M关于AD对称，点M2与点M关于AB对 称，连接MM2,M1M2恰好经过点A,则 2.如图，斯诺克比赛桌面4 Eo M,M2的最小值为 AB宽1.78m,白球E距 AD边0.22m,距CD边 B L.4m,有一颗红球F紧贴BC边，且距离 CD边0.1m,若要使白球E经过边AD, DC,两次反弹击中红球F,则白球E运动 路线的总长度为 m. 3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°， 数学·173 ☆ 中考新方向+数学 二、全等模型 ①模型讲解 一平移模型 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC,D是三角 此模型的特征是有一组边共线或部分重合， 形内一点，连接AD,BD,CD,∠BDC=90°， 另两组边分别平行，常要在移动方向上加 ∠DBC=45°. (减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线 性质找到对应角相等 AA (1)求证：∠BAD=∠CMD: 【例1】如图，已知点E,C在线段BF上，BE (2)求∠ADB的度数， CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证：AC=DF 解：(1)证明：：∠BDC=90°，∠DBC=45° .∠BCD=180°-∠BDC-∠DBC=45°， ∴.∠DBC=∠BCD,.DB=DC AB=AC, 证明：：'AB∥DE,∴，∠ABC=∠DEF 在△ABD与△ACD中， DB DC. BE CF...BC EF AD=AD. 又：∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF(ASA), ∴.△ABD≌△ACD(SSS).∴.∠BAD=∠GAD ∴.AC=DF (2)·△AB