13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 2022-2023学年人教版八年级上册数学

13.4课题学习 最短路径问题 教学设计 教学目标 1.让学生能够利用轴对称变换解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 3.感悟转化的思想、体会数学建模思想，培养推理能力和应用意识. 教学内容 教学重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”问题. 教学难点： 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段(或线段的和)最短问题以及路径最短的证明. 教学过程 教学目的 一、导入 同学们，前面我们学习了将军饮马问题，也就是两定一动一定线型的最短路径问题. 这节课，我们就来深入学习《最短路径问题》。探究一下它的变式类问题. 二、探索 我们来看看下边这道例题： 问题1：某班举行晚会，桌子排成两条，一边桌子上放的橘子，一边桌子上放着糖果，坐在座位上的学生可以先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，怎么行动，走的路程最短呢？ 教学引入，引入课题《最短路径问题》第二课时. 我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？ 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？ 我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短 又∵两点之间，线段最短 即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 下边我们来看一看另一类问题 问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？ 首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和. 作点E关于直线CD的对称点E′； 过E′作垂线，与AB相交于H点，与CD相交于F点，连接EF，FH ∵直线外一点到直线的距离，垂线段最短 ∴E′到AB的距离，E′H最短 由轴对称的性质可知：EF=E′F ∴此时，EF+FH最短 所以，在这个问题中，我们可以得出，作E点关于直线CD的对称点，然后作E′到直线AB的垂线段E′H，此线段与直线CD相交之点即为F点，这个点使到点E、点H的距离的和最短. 通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力. 三、课堂小结 同学们，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的“两点之间线段最短”、“点到直线的距离垂线段最短”的问题，从而作出最短路径的选择。这就是一定两动两定线类型的解题方法. 总结我们这节课学到的知识。利用轴对称将最短路径问题化折为直转化为“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”问题。让学生感悟转化的思想、体会数学建模思想，培养推理能力和应用意识. 学科网（北京）股份有限公司 $