专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 椭圆的定义】 1 【题型2 曲线方程与椭圆】 2 【题型3 椭圆方程的求解】 3 【题型4 动点轨迹方程的求法】 3 【题型5 椭圆中的焦点三角形问题】 5 【题型6 椭圆中的最值问题】 5 【知识点1 椭圆的定义】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 【题型1 椭圆的定义】 【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末），为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则（    ） A．9 B．4 C．2 D．1 【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（    ） A． B． C． D． 【知识点2 椭圆的标准方程】 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【题型3 椭圆方程的求解】 【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 动点轨迹方程的求法】 【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·高二课时练习）在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为