专题1.4 空间向量的应用（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量的应用 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 1 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 2 【考点3：空间中的距离】 6 【考点4：空间中的角】 8 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 1．（2023·高二课时练习）若平面，则下面选项中可以是这两个平面法向量的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 2．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则 ． 5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面. 6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.    【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 1．（2023·高二课时练习）已知直线的方向向量是，直线的方向向量是，若，且，则的值是（     ） A．-4或0 B．4或1 C．-4 D．0 2．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·高二课时练习）设，分别是平面的法向量.若，则t等于（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    6．（2023·高二校考单元测试）如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：    (1)平面平面； (2)平面. 7．（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 8．（2023·高二课时练习）在正方体中，在棱上是否存在点，使平面? 【考点3：空间中的距离】 【知识点：空间向量法求空间中的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 1．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 3．（2023·江苏·高二专题练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 . 4．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为 ． 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是 ． 6．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上． (1)求证：； (2)若点到直线的距离为，求的值． 7．（2022秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    (1)求证:平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. 【考点4：空间中的角】 【知识点：空间向量法求空间中的角】 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的