专题02 与三角形有关的角（知识串讲+7大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

专题02 与三角形有关的角 考点类型 知识串讲 （一）三角形内角（和） （1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 （2）推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （二）三角形外角 （1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 （2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （3）三角形的外角与内角的关系： ①三角形的一个外角与它相邻的内角互补； ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （三）三角形内、外角角平分线模型 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A． 考点训练 考点1：三角形内角和定理的证明 典例1：（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵，（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 【变式2】（2023·广东佛山·校考一模）如下图所示，能利用图中作法：过点A作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：三角形内角和定理的应用——平行线 典例2：（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2023·湖北荆门·校联考一模）如图，直线，，，则（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论： ①如果∠2=30°，则AC∥DE； ②∠BAE+∠CAD=180°； ③如果BC∥AD，则∠2=30°； ④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【变式3】（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线 典例3：（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④ 【变式2】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式3】（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）如图，四边形A