第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质（13类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。 ②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。 ③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。 通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】或 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则直线：，由，得，即，    而，，由，得，即， 有，又，因此， 所以E的离心率为. 故选：A 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【即学即练3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交 故选：C. 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于. 故选：B 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【变式3】（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m的值