第02讲 4.2指数函数（知识清单+11类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 4.2指数函数 （4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质） 课程标准 学习目标 ①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 知识点01：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 【即学即练1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 知识点02：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点03：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点04：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 题型01指数函数的判定与求值 【典例1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（2023·高一课时练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ． 【变式1】（2023·高一课时练习）设函数，则＝ ． 【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是 (填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 题型02根据函数是指数函数求参数 【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【典例2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则的值为 ． 【变式1】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则有 . 【变式2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 ． 题型03指数型函数图象过定点问题 【典例1】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图像过定点，则（    ）． A． B． C．为R上的增函数 D．的解集为 【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数且恒过定点， ． 【变式1】（2023·高一课