第一章 空间向量与立体几何 微专题2 角中的探究性问题-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第一章 空间向量与立体几何 微专题2　角中的探究性问题 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 典例剖析•素养提升 　如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD，∠ABC＝45°. (1) 求证：AC⊥PB； 1 1 探索点的位置 【解答】 　因为AD⊥CD，且AD＝CD，所以∠ACD＝∠DAC＝45°，所以∠BCA＝45°.又∠ABC＝45°，所以∠BAC＝90°，即AC⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB. 因为PB⊂平面PAB，所以AC⊥PB. 图(1) 典例剖析•素养提升 【解答】 　取BC的中点E，以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图(2). 　如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD，∠ABC＝45°. 1 图(1) 图(2) 典例剖析•素养提升 典例剖析•素养提升 　如图(1)，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，PC的中点． (1) 求证：PB∥平面AEC； 2 探索棱长的长度 【解答】 　如图(2)，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE. 因为四边形ABCD为矩形，所以O是BD的中点．又因为E是棱PD的中点，所以PB∥EO.因为PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC. 2 图(1) 图(2) 典例剖析•素养提升 　如图(1)，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，PC的中点． (2) 若矩形ABCD为正方形，试探究在什么条件下，平面ACF与平面ADF的夹角为60°. 2 【解答】 　由题意知AD，AB，AP两两互相垂直，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝AD＝2a，AP＝2c，则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c). 图(1) 图(2) 典例剖析•素养提升 典例剖析•素养提升 解决此类问题(点的位置和棱长的长度)的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)，并解方程(组).若有解，则存在并求得结论成立的条件；若无解，则不存在． 总 结 提 炼 　如图(1)，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1) 求证：l⊥平面PDC； 3 探索角的最值 【解答】 　在正方形ABCD中，AD∥BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l. 在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC. 又PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD.因为CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，所以l⊥平面PDC. 3 图(1) 典例剖析•素养提升 　如图(1)，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l. (2) 已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 3 【解答】 　如图(2)，建立空间直角坐标系Dxyz，因为PD＝AD＝1，所以D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0). 图(1) 图(2) 典例剖析•素养提升 典例剖析•素养提升 最值问题，要通过建立目标函数，然后运用基本不等式或导数(目前尚未学习)研究关系式，进而求出函数的最值． 总 结 提 炼 随堂内化•及时反馈 14 【解答】 　如图(2)，分别取BE，AE的中点O，F，连接OC，OF，DF，可得2OF＝BA且OF∥BA. 因为AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，所以2CD＝BA且CD∥BA，于是OF∥CD且OF＝CD，所以四边形OCDF为平行四边形，从而OC∥FD. 1. 如图(1)，在四棱锥E－ABCD中，已知AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝4，∠BCE＝60°. (1) 求证：平面ABE⊥平面ADE； 图(1) 图(2) 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 2 随堂内化•及时反馈 因为BC＝CE，所以OC⊥BE.又因为AB⊥平面BCE，且OC⊂平面BCE，可得OC⊥AB. 因为AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，所以OC