第一章 空间向量与立体几何 微专题1 基底法求线线角与点点距-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第一章 空间向量与立体几何 微专题1　基底法求线线角与点点距 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 典例剖析•素养提升 　在底面为正三角形的直棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为 (　　) 1 1 基底法求线线角 典例剖析•素养提升 【解析】 【答案】C 典例剖析•素养提升 　如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点． (1) 求证：AE⊥BC； 【解析】 变式 典例剖析•素养提升 　如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点． (2) 求异面直线AE与DC所成角的余弦值． 【解析】 变式 典例剖析•素养提升 　在自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a，b，c及棱间夹角α，β，γ(合称为“晶胞参数”)来表征．如图(1)是某种晶体的晶胞，其中a＝2，b＝c＝1，α＝60°，β＝90°，γ＝120°，求该晶胞的对角线AC1的长． 2 基底法求点点距 2 图1 典例剖析•素养提升 【解答】 图2 典例剖析•素养提升 　已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且BD与α所成的角是30°.若AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 【解答】 由AC⊥α，知AC⊥AB. 变式 典例剖析•素养提升 涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题，可以利用基向量，通过数量积的运算来解决． (1) 线线垂直可用a·b＝0证明，其中a，b用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题； (3) 线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式|a|计算，其中a用基向量表示． 总 结 提 炼 随堂内化•及时反馈 11 【解析】 1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别为AB，B1C的中点，且AB＝a，则MN等于 (　　) A　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 2. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是 (　　) A. 平行 B. 垂直 C. 相交　　　　　　D. 不确定 B　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1与AC所成角的大小为(　　) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 【答案】C 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 4. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为____． 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 5. 如图(1)，已知P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为_____，异面直线PA与BC所成角的余弦值为_____． 图1 图2 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 谢谢观赏 温馨提示： 请老师布置同学们及时完成对应的课后练习。 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 　如图，||＝||＝＝2， ·＝·＝(＋)·＝2＋·＋·＋·＝36＋×8×8×＝28，所以 cos 〈，〉＝＝. 　因为＝－＝(＋)－，＝－，所以·＝·(－)＝2－2－·＋·. 又因为DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，所以·＝0，故AE⊥BC. 　·＝·＝·＋2－·＝2＝2. 由||2＝2＝2＋2＋2＝6，得||＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝，故异面直线AE与DC所成角的余弦值为. 　如图(2)，＝＋＝＋＋＝＋＋. 由题可知||＝2，||＝||＝1，α＝∠A1AB＝60°，β＝∠A1AD ＝90°，∠BAD＝180°－γ＝60°， 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2· ＋2·＝4＋1＋1＋2×2×1×cos 60°＋2×2 ×1×cos 60°＋2×1×1×cos 90°＝10，从而||＝，故该晶胞的对角线AC1的长为. 如图，过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，则∠DBD′ ＝30°，〈，〉＝120°， 所以| |2＝·＝(＋ ＋)2＝||2＋||2＋||