第一章 空间向量与立体几何 1.4 第6课时 用空间向量研究夹角问题(2)——两平面的夹角-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第6课时　用空间向量研究夹角问题(2)——两平面的夹角 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 学习 目标 1. 理解空间两平面夹角的概念，能利用向量方法求空间两平面夹角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间两平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 素养养成•学透教材 　(教材P37例8补充)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.设PA＝AB＝a，BC＝2a，求平面BPC与平面PCD夹角的余弦值． 1 1 求两平面的夹角 【解答】 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 　如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，求平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值． 【解答】 2 图(1) 图(2) 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 2 3 已知两平面的夹角求其他 图(1) 素养养成•学透教材 【解答】 图(2) 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 随堂内化•及时反馈 11 1. 已知平面α与平面β相交会形成四个二面角，我们把这四个二面角中___________的二面角称为平面α与平面β的夹角． 不大于90°　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 2. 若平面α，β的法向量分别是n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹 角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝_______． 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 A　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 4. 已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则这两个平面的夹角为 (　　) A. 30° 　　 B. 45°　　 C. 90° 　　 D. 135° B　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 5. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP的夹角为 (　　) C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 谢谢观赏 温馨提示： 请老师布置同学们及时完成对应的课后练习。 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(a，0，0)，C(a，2a，0)，P(0，0，a)，D(0，2a，0)，所以＝(0，2a，0)，＝(－a，0，a)，＝(－a，0，0)，＝(0，2a，－a). 设平面PBC与平面PCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则有和即和令x1＝1，可得平面PBC的一个法向量为n1＝(1，0，1).令y2＝1，可得平面PCD的一个法向量为n2＝(0，1，2)，所以cos 〈n1，n2〉＝＝. 因为两平面夹角的取值范围是，所以平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为. 　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)，所以＝(0，－2，1)，＝(－2，0，1).设平面ECF的法向量为n＝(x，y，z)，由取z＝2，得n＝(1，1，2)，所以平面ECF的一个法向量为n＝(1，1，2). 设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ，因为m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，所以cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝. 　如图(1)，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.试问：在线段AB上是否存在一点E，使得平面CDE与平面C1DE夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 　假设存在点E，满足题意，设AE＝a(0≤a≤4).如图(2)，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则E(3，a，0)，C1(0，4，2)，D(0，0，0). 设平面DEC1的法向量为n＝(x，y，z)，由＝(0，4，2)， ＝(3，a，0)，且可知即 令y＝1，得x＝－，z＝－2，即n＝. 又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以cos 〈m，n〉＝＝.因为两平面夹角的取值范围是，所以＝，解得a＝3，所以在线段AB上存在点E，使得平面CDE与平面C1DE夹角的余弦值为，此时AE＝3. 　 3. 已知平面α与平面β的法向量分别为a，b