第一章 空间向量与立体几何 1.4 第5课时 用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第5课时　用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 学习 目标 1. 能用向量方法求空间中线线角、线面角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间中线线角、线面角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 素养养成•学透教材 　(教材P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求异面直线A′C与DE所成角的余弦值． 1 1 两异面直线所成的角 【解答】 素养养成•学透教材 总 结 提 炼 2 2 直线与平面所成的角 【解答】 如图(2)，以B为原点，BA，BB1所在的直线分别为x轴、z轴，在平面ABC中过点B作AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系． 图(1) 图(2) 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 若直线l与平面α所成的角为θ，对应直线的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|，可根据此公式求解相关量． 总 结 提 炼 　如图(1)，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝2，Q为BC的中点，求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【解答】 变式 图(1) 图(2) 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 随堂内化•及时反馈 11 1. 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉| ＝_______＝_______. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 2. 若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则sin θ＝_______________. |cos 〈m，n〉|　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 3. 如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，若E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成角的余弦值为 (　　) 图(1) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 图(2) 【答案】A 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 4. 如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3.若PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为 (　　) 图(1) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 图(2) 【答案】B 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 5. (多选)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列选项正确的是 (　　) A. 直线A1B与B1C所成的角为60° B. 直线A1C与C1D所成的角为90° C. 直线A1C与平面ABCD所成的角为45° D. 直线A1B与平面BCC1B1所成的角为60° 图(1) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 图(2) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【答案】AB 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 谢谢观赏 温馨提示： 请老师布置同学们及时完成对应的课后练习。 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 　如图，建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，B(a，0，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以异面直线A′C与DE所成角的余弦值为. 若两条异面直线所成的角为θ，对应的方向向量分别为m，n，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，可根据此公式求解相关量． 　如图(1)，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，∠ABC＝120°，M为A1C1的中点，求直线BM与平面ABB1A1所成的角． 设AB＝BC＝BB1＝2，则B(0，0，0)，A1(2，0，)，C1(－1，，)，M，＝，平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0，1，0). 设直线BM与平面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以θ＝30°，即直线BM与平面ABB1A1所成的角为30°. 　如图(2)，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空