第一章 空间向量与立体几何 1.4 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 第3课时　空间中直线、平面的垂直 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 学习 目标 1. 能用向量语言表述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 2. 能用向量方法判断或证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 素养养成•学透教材 　如图(1)，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD. 1 1 利用空间向量证明线线垂直 图(1) 素养养成•学透教材 　由题意可知四面体ABCD为正四面体，过A作底面BCD的垂线，垂足为O，连接BN，则O在BN上．过O作直线PQ∥CD，分别交BC，BD于P，Q两点，则OP，ON，OA两两相互垂直．以O为原点，OP，ON，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系， 【解答】 图(2) 素养养成•学透教材 欲证线线垂直，可以证明两直线的方向向量垂直． 总 结 提 炼 　(教材P32例4补充)如图(1)，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2，求证：AB1⊥平面A1B1C1. 2 2 利用空间向量证明线面垂直 图(1) 素养养成•学透教材 【解答】 图(2) 因为A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1. 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 欲证线面垂直，可以证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量． 总 结 提 炼 　(教材P32例5补充)如图(1)，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD. 3 3 利用空间向量证明面面垂直 【解答】 图(1) 图(2) 素养养成•学透教材 因为AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD. 素养养成•学透教材 欲证面面垂直，可以证明两个平面的法向量互相垂直，也可以证明线面垂直，进而得证面面垂直． 总 结 提 炼 随堂内化•及时反馈 14 1. 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔_________⇔__________． u1⊥u2　 u1·u2＝0　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 2. 直线和平面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔_______⇔____________________． u∥n　 ∃λ∈R，使得u＝λn　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 3. 平面和平面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔_________⇔____________． n1⊥n2　 n1·n2＝0　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 4. 若直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，且l⊥α，则m的值是 (　　) A. 10　　 B. －10　　 C. －2　　 D. 2 C　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 A. EF⊥A1D　　 B. EF⊥AC　　 C. EF⊥BD1　　 D. EF⊥AD1 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 【答案】AB 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 谢谢观赏 温馨提示： 请老师布置同学们及时完成对应的课后练习。 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 则O(0，0，0)，A，B，C，D，M，N，则＝，＝，＝(－a，0，0). 因为·＝0×0＋×＋×＝－＋＝0，·＝0×(－a)＋×0＋×0＝0，所以MN⊥AB，MN⊥CD. 　方法一：如图(2)，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，－，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)， 则＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).由·＝0，得AB1⊥A1B1.由·＝0，得AB1⊥A1C1. 方法二：同方法一建立空间直角坐标系，则＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3). 设m＝(x，y，z)是平面A1B1C1的法向量，则即令z＝1，得m＝. 因为＝2m，即∥m，所以AB1⊥平面A1B1C1. 　设AS＝AB＝1