第二章 直线和圆的方程 2.4 第2课时 圆的一般方程-【南方凤凰台·5A新学案】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册人教A版2019（课件）

第二章 直线和圆的方程 2.4　圆的方程 第2课时　圆的一般方程 选择性必修第一册 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 1 学习 目标 1．探索并掌握圆的一般方程，能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 2．会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程． 3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 　南方凤凰台　5A新学案 · 数学 素养养成•学透教材 　　　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1) 3x2＋y2＋2x＋1＝0； 1 1 识别圆的一般方程 【解答】 　　　　因为x2，y2的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． (2) x2＋y2＋xy＋1＝0； 【解答】 　　　　因为该二次方程中含有xy项，所以该二元二次方程表示的不是圆． 素养养成•学透教材 　　　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (3) x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； 1 【解答】 素养养成•学透教材 　　　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (4) x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. 1 【解答】 素养养成•学透教材 判断一个二元二次方程是否表示圆的一般步骤： 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即x2与y2的系数相等与不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种方法：一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数． 总 结 提 炼 　　　过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_______ ____________________________________________________________. 2 2 求圆的一般方程 【解析】 　　　　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 用待定系数法求圆的方程时，如何进行一般方程和标准方程的选择？ (1) 如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程时，一般采用圆的标准方程，用待定系数法求出a，b，r. (2) 如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，用待定系数法求出参数D，E，F. 总 结 提 炼 变式　如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，O为MN的中点，求这个等腰梯形的外接圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【解答】 　　　　由等腰梯形MNPQ的底边长分别为6和4，高为3，知点M，N，P的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(2，3). 素养养成•学透教材 素养养成•学透教材 　　　(教材P87例5补充)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0). (1) 求直角顶点C的轨迹方程； 3 3 求与圆有关的动点的轨迹方程 【解答】 素养养成•学透教材 方法二：同方法一得x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1). 素养养成•学透教材 　　　(教材P87例5补充)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0). (2) 求直角边BC的中点M的轨迹方程． 3 【解答】 素养养成•学透教材 求与圆有关的轨迹问题的四种方法： 总 结 提 炼 随堂内化•及时反馈 18 1．当_______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心坐标为____________，半径为____________. D2＋E2－4F＞0　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 　　　　正确，将圆的一般方程配方，可以得到圆的标准方程． 2．判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 圆的一般方程可以化为圆的标准方程． (　　) √　 (2) 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． (　　) 【解析】 ×　 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 随堂内化•及时反馈 5 【解析】 　　　　正确，由圆的一般方程的定义可知(－2)2＋E2－4×1＞0，解得E2＞0，即E≠0. 2．判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (3) 若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. (　　) √　 (4) 任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　　) 【解析】 　　　　正确，由圆的一般方程形式上的特点可知，任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． √　 点击对