4.2.1指数函数的概念学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1 指数函数的概念 一、背景研究 问题1 随着中国经济高速增长，人民的生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表4.2-1给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 表4.2-1 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 探究一 根据表格信息，你们发现了怎样的变化规律？ 探究二 为了更好的观察规律，请同学们利用图形计算器，画出A,B两地游客人次和时间的图象。观察图象，A,B两地游客人次又有怎样的变化规律？ A景区构建函数模型，从2001年开始，每年的增加量约为10万人次，则 1年后，游客人次增加了_______, 2年后，游客人次增加了_______, 3年后，游客人次增加了_______, …… x年后，游客人次增加了_______, 设x年后的增加量记为y，则__________________。 探究三 类比A景区的研究过程，B景区是否也存在类似的“增加量”这样的不变量？ 分析 年增加量是相邻两年的游客人次做减法得到的，试想，是否可以对相邻两年的游客人次做其他运算，这样得到的数据又会是什么样的结果？ 提示： 探究四 B地景区游客人次呈指数增长，如何构建新的函数模型？ 从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以描述为： 1年后，游客人次是2001年的_________倍； 2年后，游客人次是2001年的_________倍； 3年后，游客人次是2001年的_________倍； …… 年后，游客人次是2001年的_________倍； 设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么_____________是一个______，其中指数______是自变量。 问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 不妨设刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，则 死亡1年后，生物体内碳14含量为_______________； 死亡2年后，生物体内碳14含量为_______________； 死亡3年后，生物体内碳14含量为_______________； …… 死亡x年后，生物体内碳14含量为_______________； 设死亡年后，生物体内碳14含量为，则_______________是一个______，其中指数______是自变量。 根据已知条件，可知_________________，所以_____________。 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为_________________。 设问1： 像这类函数与我们刚刚学过的幂函数，一样吗？这两类函数有什么区别？ 设问2：从以上两个解析式中能否抽象出一个更具有一般性的函数模型？ 二、新知归纳 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R。 特点：_________________________________________________________________。 三、概念辨析 1. 判断下列函数是指数函数的是___________。 2. 函数 是指数函数，则有（ ） 例1 已知指数函数且，求的值。 课堂练习 1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 2. 已知函数f(x)＝(3a－2)x是指数函数，则实数a的取值范围是（ ） 3. 函数是指数函数，求f(x)。 课堂小结 （1） 基本知识与技能：学习指数函数的概念 （2）基本思想方法：数形结合