2023年青少年数学国际队城市邀请赛队际赛试题

Bulgaria International Mathematics Competition 2023 (Virtual) 2023 Bulgaria,1st to 7th July 2023 青少年数学国际城市邀请赛 队际赛试题 1.设p、9、r为方程x-9x2+1lx-1=0的非负实根。若s=√D+√G+F,请 问s-18s2-8之值为何？【泰国供题】 2.己知ABCD为矩形，点E在线段BC X 上，圆心在点A的圆o经过点E。 EB的延长线与o相交于点X而EA 的延长线与四相交于点Y,如下图所 示。证明：DC与经过点Y、X、D的 圆相切。【墨西哥供题】 3.在给定的凸四边形ABCD中，有∠CAD=40°、 ∠B4C=50°、∠CBD=20°以及∠CDB=25°， 如图所示。若点O为AC与BD的交点，请间 50° ∠AOB为多少度？【越南供题】 40 小 20 259 D 4.小工将一些珠子放入100个黑色的袋子内，袋子分别标号为1到100。每个 回合，您可以询问小工任何15个相异的袋子内珠子数之总和的奇偶性。请 问您最少需要询问小丁几个回合才能确定1号袋子内珠子数量的奇偶性？ 请给出一个询问方式，并证明您的结论。【中国供题】 5.已知三角形ABC是一个直角三角形，其中∠C=90°、AC=28cm以及 BC=14cm。正方形ACDE与BCFG为三角形ABC外部的正方形，令BE 与AC交于点H、与AG交于点I而AG与BC交于点J,如图所示。请问四 边形CHW的面积是多少cm?【评审供题】 G B D E 6.求最小的正整数山，使得存在一个无限多项的等差数列，满足下列性质： ·数列的每一项为正整数。 ●数列的公差为d。 ·数列的项都不出现在斐波那契数列中。 (斐波那契数列的定义为F=1、F=1、F2=F,+F,n2I)【秘鲁供题】 Bulgaria International Mathematics Competition 202,3 (Virtual) 2023 Bulgaria,1st to 7th July 2023 青少年数学国际城市邀请赛 队际赛试题 1. 设p、9、r为方程x-9x2+11x-1=0的非负实根。若s=√D+√+F,请 问s-18s2-8之值为何？【泰国供题】 【参考解法】 由于p、q、r为方程x-9x2+11x-1=0的根，根据韦达定理，我们得到 p+q+r=9,p四+qr+p=11以及pgr=1:由于s=√p+VG+F,因此有 2=p+9+r+2(Np四+√gr+√p) =9+2(√pg+√gr+Vp) 2-9=2(Vp两+√m+Vm列 现在平方得到 s-18s2+81=4pg+qr+rp+2√pgr(√p+√g+F切 =411+2s) s4-1852-85=44-81=-37 因此s-18s2-8x=37. 答：37 2.己知ABCD为矩形，点E在线段BC 上，圆心在点A的圆o经过点E。 EB的延长线与w相交于点X而EA 的延长线与。相交于点Y,如下图所 示。证明：DC与经过点Y、X、D的 圆相切。【墨西哥供题】 【参考解法1】 连接点D与X,设∠DXC=a。 由于XC与CD垂直，因此 ∠CDX=90°-a.连接Y与X由于X在 圆上，EY为直径，因此∠XE=90°.由于 ∠DCX=90°并且∠CDA=90°，因此直线 DA垂直于YX.连接A与X,注意到 AY=AX都是半径，因此AD为Y的垂 直平分线，因此三角形YD为等腰三角形， ∠DYX=∠YXD=90°-a(由于∠YXE=-90°并且∠DXC=a)。于是 ∠DX=∠CDX,由此可得知CD与三角形XD的外接圆相切。 X B 【参考解法2】 连接点D与X.因为EY是圆m的直径，可得知∠XE=90°，此即X⊥XC: 又因为BC/AD.可得知X⊥AD. 作AX、DY、DX。令点Z为Y的中点，因为三角形AT是等腰三角形，故A☑ 是T的垂直平分线。由此得知Z、A、D三点共线，故AD也是Y的垂直平分 线，因此，三角形DY的外心O必定落在AD上， 因为OD是三角形DT外接圆的直径且DC⊥OD,所以DC与此外接圆相切. 【评分标准1与2】 ●证明AD与灯垂直（或者AB与X灯平行）。 20分 (指出∠XE=90°給10分) ●注意到经过点Y、X、D的圆之圆心在AD上，CD为AD的垂直平分线，完 成证明（或者计算了一些角度）……20分 3. 在给定的凸四边形ABCD中，有∠CAD=40°、 A ∠BAC=50°、∠CBD=20°以及∠CDB=25°， 如图所示。若点O为AC与BD的交点，请问 509 ∠AOB为多少度？【越南供题】 409 B 209 0 259 D 【参考解法1】 设点K在CD上满足BK与CD垂直，点G为BD与AK的交点，如图所示. 我们得知∠K