第二十一章 一元二次方程 学案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

分类提升练习：一元二次方程 1、定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、一元二次方程的解法 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 3、一元二次方程与实际问题 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步：答。 分类练习： 一、单选题(共8题；共40分) 1．方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于方程式的两根，下列判断何者正确（　　） A．一根小于，另一根大于 B．一根小于，另一根大于 C．两根都小于 D．两根都大于 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 5．关于x一元二次方程的一个根是0，则a的值为（　　） A．1或 B．1 C． D．0 6．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（　　） A．2023 B．2013 C．2022 D．2012 7．为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知，是方程的两个实根，则的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．21 二、填空题(共5题；共15分) 9．若一元二次方程无实数根，则的取值范围是　 　． 10．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 　 　（写出一个即可）． 11．若，是方程的两个根，则的值为　 　. 12．已知，m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　 　． 13．若关于的方程是一元二次方程，则　 　． 三、综合题(共6题；共45分) 14． （1）已知x1=-1，x2=4是方程x2+mx+n=0的根，求这个方程； （2）已知x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个根，且a≠-b，求 的值. 15．已知关于的方程． （1）说明：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根． 16．阅读材料，并回答问题： 王林在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解： ① ② ③ ④ ，⑤ ，⑥ 问题： （1）王林解方程的方法是____； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 （2）上述解答过程中，从　 　步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是　 　； （3）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 17． （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况． 18．我们把多项式 a2 + 2ab + b2及 a2 - 2ab + b2这样的式子叫做完全平方式．如果