第二十二章 二次函数 学案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

分类提升练习：二次函数 知识点归纳： 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3、c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 分类练习： 一、单选题(共8题；共40分) 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x3+1 C．y＝+1 D．y＝x﹣2 2．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而增大；④该函数的图象与函数的图象的对称轴相同．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④ 4．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③方程的两个根为； ④抛物线上有两点和，若且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（　　） A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1） C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝1 6．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a