2023年中考数学专题复习：胡不归问题

胡不归 【背景知识】    有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”（“胡”同“何”）      早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB. 但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。 而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ 【模型建立】 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． 【问题分析】 ，记，即求BC+kAC的最小值． 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【精讲精练】 例1：如图，等边三角形ABC边长为4，P为中线AD上一动点，则PC+AP的最小值为 . 例2: 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为 . A B C D P 【模型总结】 在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中，关键是构造与kPA相等的线段，将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型． 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段． 【问题提出】 如图，点P为射线l上的一动点，A、B为定点，求PB+kPA的最小值 l 【问题解决】D 构造射线AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP． 将问题转化为求PB+PC最小值，过B点作BC⊥AD交l于点P，交AD于C点，此时PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小． 变式： 1、如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（　　） A． B． C． D． 2、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝　 　． 例3：如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是 ． 例4： 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为　 　． 变式： 3、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于 ． 4、如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　 ） A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 例5：如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y轴上有一动点G，求BG+AG的最小值. 例6：如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D． （1）填空：点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）直线l1的表达式为　　 ； （3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，说明理由． （4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标． 变式： 5、 6、如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右