第二十二章 二次函数 学案 2023～2024学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 1、二次函数定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2、二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 3.二次函数的图象是一条抛物线：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系： （1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． （2）b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” （3）c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系： 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 （1） 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； （2）当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 一、单选题 1．下列函数中，二次函数是（　　） A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y= 2．将抛物线y＝ 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（　　） A． B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．如果y= 是关于x的二次函数，则m=（　　） A．-1 B．2 C．-1或2 D．m不存在 4．抛物线 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ +（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（　　） A．B．C．D． 6．已知二次函数 ，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（　　） A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0 7．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是（1，2） C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．图象与y轴的交点坐标为（0，2） 8．下列函数有最大值的是 ( ) A． B．y=-x2 C． D．y=x2-2 二、填空题 9．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）． 10．已知二次函数 自变量x的部分取值和对应函数值y如表： 则在实数范围内能使得 成立的x取值范围是　 　. 11．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式.当销售价格定为每瓶　 　元时，