第二十六章 反比例函数 单元教学设计 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

“反比例函数”单元设计 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 （1）、结合具体情境，体会反比例函数的意义，能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。 （2）、能画出反比例函数图像，根据图像和表达式探索并理解和时，图像的变化情况。 （3）、能用反比例函数解决简单实际情况 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法（举例说明） ①数学抽象。 通过分析现实生活中具有反比例关系的例子，让学生在对具体问题的体验感知中形成感性认识。通过对感性材料的观察、对比、分析，抽象出反比例函数。 ②数形结合。 通过建系——描点——作图，得到反比例函数的图像。 1.4 相关的数学核心素养（举例说明） ①数学抽象。 通过分析现实生活中具有反比例关系的例子，让学生在对具体问题的体验感知中形成感性认识。通过对感性材料的观察、对比、分析，抽象出反比例函数。 ②数学建模。 在抽象出反比例函数之后，再类比一次函数和正比例函数的概念，建立一种新的数学模型，即反比例函数的概念。在教学过程中，给予学生更多思考空间，提出自己的疑问，共同探讨直到解决学生的理解性问题。 ③数学运算。 设置一系列具有反比例关系的数据，让学生进行分析，类比求正比例函数解析式的方法，通过数学运算，得出反比例函数表达式。 2 数学的联系与应用 2.1 数学史与数学文化[1] （1）、反比例函数起源于“反比例”。 “反比例”的定义可追溯到《几何原本》。其在第五卷“比例论”中将“反比例”定义为“后项作前项，前项作后项”。1793年，英国科学家托马斯·贝 多 斯 (ThomasBeddoes,1760~1808)在其著作中写道：“天平臂10英尺，另一边１英尺，则每边所挂的物体的重量与其长度成反比例。” “反比例变化”最早出现在美国数学家约瑟夫·雷伊(JosephRay,1807~1855)的《高等算数》一书(1856)中。其中写道：“不管是正比例还是反比例变化，都是表达比例经常使用的一般方法。若两个量同增或者同减，则它们之间存在正比例变化，因此船以一定的速度行驶时路程与时间成正比例，这意味着在一定的速度下行驶的路程之比与行驶的时间之比相同；若一个量增大而另一个减小，则它们之间存在反比例变化，因此完成一项任务所需要的时间与参与的人数成反比例，这意味着两个时间之比与两个人数之比是反比。”由此可见，早期“正比例”中的“正”指同增同减；“反比例”中的“反”指一增一减，含有“倒数”之意。 （2）、我国古代的劝善书《太上感应篇》中记载了这样一个故事：明朝万历年间，扬州有一家大南货店，店主在临死的时候吩咐儿子说：“我平生起家，全靠这杆秤。这杆秤乃是乌木合成，中间空的地方藏有水银，称出的时候，就将水银倒在秤头，称入的时候，就将水银倒在秤尾。这样‘入重出轻’，就是我致富的原因。 2.2 数学与现实生活的联系[2] （1）计划修建一条长为150km的高速公路，完成该项目的天数y（天）随日完成量x（km）的变化而变化；（） （2）一本书共280页，每天看10页，剩下y（页）随阅读时间x（天）的变化而变化；() （3）菜场距家1000m，去菜场所需的时间t随平均速度v的变化而变化；() （4）猪肉的单价是12元/kg，购买的金额y（元）随猪肉质量x（kg）的变化而变化；() （5）一个面积为5cm2的菱形，一条对角线y（cm）随着另一条对角线x（cm）的变化而变化；() （6）圆面积S随半径r的变化而变化；() （7）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。() 2.3 数学与其它学科的联系 （1）、反比例函数与光学结合。[4] 例：近视眼镜的度数y度与镜片焦距x(m)成反比例。已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是___。（） （2）、反比例函数与力学结合。 例：某气球内充满了一定质量的气体当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa，即千帕，是一种压强单位)是气体体积V()的反比例函数，其图象如图1所示.写出这个反比例函数的解析式___。（） 2.4 高观点下的中小学数学 反比例函数、一次函数、二次函数是基本初等函数经过四则运算生成的初等函数，其中特别的是特殊的幂函数。在中学阶段，学生需要掌握这三类函数的表达式、图像、性质，这三类函数的学习为之后的幂函数、函数运算的学习打好基础。在教学过程中，应从最基础的函数形式探究其图像以及性质，再通过不断变化函数形式，对问题的研究不断深入，让同学们深刻认识到函数在解决实际问题的作用。 3教学研究（以“反比例函数的概念”课为例） 3.1教学目标 3.1.1知识技能 从具体情境和已有知识，经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念